1、2.1 抛物线及其标准方程,我们知道,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线,而且还研究过它的顶点坐标、对称轴等问题。那么,抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？,1.把一根直尺固定在画板上，把三角板的一条直角边紧靠直尺边缘； 2.取一根细绳，它长度与AC相等，细绳一端固定在A处，另一端固定在F处； 3.用笔尖扣紧绳子，靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动。,抛物线的定义,在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线,焦点,准线,d 为 M 到 l 的距离,“一动三定”,设动点C到
2、点M(0,3)的距离比点C到直线y0的距离大1，则动点C的轨迹是( ) A抛物线 B直线 C椭圆 D圆,A,抛物线的标准方程推导,想一想？,步骤： （1）建系 （2）设点 （3）列式 （4）化简,抛物线的标准方程推导,那么如何建立坐标系，使抛物线方程更简单，其标准方程的形式是怎样的？,回忆一下，看看上面的方程哪一种简单， 为什么会简单？启发我们怎样建立坐标系？,y=ax2,取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线 为y轴，以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy,抛物线的标准方程推导,抛物线的标准方程推导,依题意得,两边平方,整理得,抛物线的标准方程,把方程 y2 = 2p
3、x (p0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.,p的几何意义是:,焦点到准线的距离,简称焦准距.,焦点坐标是,准线方程为:,一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.,四种抛物线及其它们的标准方程,x轴的 正半轴上,x轴的 负半轴上,y轴的 正半轴上,y轴的 负半轴上,y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,四种方程形式相同点： （1）顶点为原点; （2）对称轴为坐标轴，焦点在坐标轴上; （3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，均
4、为 .,四种方程形式的不同点： （1）变量x(y)的幂次谁是一次，则焦点在谁上; （2）一次项系数为正（负），则开口向坐标轴的正（负）方向.,(p0),(p0),(p0),(p0),即抛物线焦点位置及开口方向的判断方法：,“焦点位置看幂次，开口方向看正负”,例1：已知抛物线方程如下，分别求其焦点和准线方程 (1)y6x2； (2)4y27x0； (3)x2ay2(a0).,注意：1.先化成标准形式；2.找出2p,进而求出3.借助开口方向求出焦 点坐标和准线方程。,变式1：,（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6x ,求它的焦点坐标及准线方程。,（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0,2）,
5、求抛物线的标准方程。,（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ,求抛物线的标准方程。,y2 =4x,解：因为26，,解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:,解:因准线方程为x=1,所以p=2,故其标准方程为:,例2：求过点A（-3,2）的抛物线的标准方程。,解：设抛物线的标准方程为：x2 =2py（p0）把A（-3,2）代入得 p=,设抛物线的标准方程为： y2 = -2px(p0),把A（-3,2） 代入得 p=,抛物线的标准方程为x2 = y或 y2 = x。,变式2：求过焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标 准方程。,解：令x0，由方程x2y40，得y2.,抛物线的焦点为 (0，2),设抛物线方程为x22py(p0)，则由 2，得2p8.,抛物线方程为x28y.,令y0，由x2y40，得x4.,抛物线的焦点为 (4,0),设抛物线方程为y22px(p0)，,由 4，得2p16.,抛物线方程为y216x.,故所求的抛物线的方程为x28y或y216x.,1.抛物线的定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,2.抛物线的标准方程：,y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,(p0),(p0),(p0),(p0),
