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    2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件5北师大版选修1_1.ppt

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    2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件5北师大版选修1_1.ppt

    1、椭圆的定义及其方程与性质,1、椭圆的第一定义:,平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。,几点说明:,1、F1、F2是两个不同的定点;,2、M是椭圆上任意一点,且|MF1| + |MF2| = 常数;,3、通常这个常数记为2a,焦距记为2c,且2a2c(?);,4、如果2a = 2c,则M点的轨迹是线段F1F2.,5、如果2a 2c,则M点的轨迹不存在.(由三角形的性质知),2、椭圆的标准方程,焦点在x轴上的椭圆的标准方程:设焦点为,长轴长为2a,短轴长为2b(ab),则椭圆的标准方程为, 其

    2、中 .其范围 对称轴为x轴、y轴;顶点 离心率 类似的,可以写出焦点在y轴上的椭圆标准方程及其性质。,O,X,Y,F1,F2,M,如图所示: F1、F2为两定点,且|F1F2|=2c,求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a(2a2c)的动点M的轨迹方程。,解:以F1F2所在直线为X轴, F1F2 的中点为原点建立平面直角坐标系,则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。,(-c,0),(c,0),(x,y),设M(x,y)为所求轨迹上的任意一点,,则:|MF1|+ |MF2|=2a,O,X,Y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),(x,y),两边平方得:a4-2a2c

    3、x+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因为2a2c,即ac,所以a2-c20,令a2-c2=b2,其中b0,代入上式可得:,b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2得:,(ab0),这个方程叫做椭圆的标准方程, 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。,O,X,Y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),O,X,Y,F1,F2,M,(0,-c),(0 , c),椭圆的标准方程的再认识:,(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1,(2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。,(3)由椭

    4、圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。,(4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一个轴上。,椭圆的标准方程,定 义,图 形,方 程,焦 点,F(c,0),F(0,c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,|MF1|+|MF2|=2a,小 结:,注意:,(3)若a2在 x2之下,则焦点在x轴上;,若a2在y2之下,则焦点在y轴上.,(2)a、b、c有关系式:c2=a2-b2,即,a2=b2+c2,a最大.,(1)在两种方程中,总有ab0;,例1、填空: (1)已知椭圆的方程为: ,则a=_,b=_,c=_,焦点坐标为:_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦,则三角形

    5、F2CD的周长为_,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,20,F1,F2,C,D,例题讲解,(2)已知椭圆的方程为: ,则a=_,b=_,c=_,焦点坐标为:_焦距等于_;曲线上一点P到左焦点F1的距离为3,则点P到另一个焦点F2的距离等于_,则三角形F1PF2的周长为_,2,1,(0,-1)、(0,1),2,例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)满足a=4,b=1,焦点在X轴上的椭圆的标准方程为_,(2)满足a=4,c= ,焦点在Y轴上的椭圆的标准方程为_,教材例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:,(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)、(4,0),椭圆上的一点P到两焦点距离的和

    6、等于10;,解: 椭圆的焦点在x轴上, 设它的标准方程为, 所求的椭圆的标准方程为, 2a=10, 2c=8, a=5, c=4,(2)两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,2),并且椭圆经过点,解: 椭圆的焦点在y轴上,,由椭圆的定义知,,教材例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:, 设它的标准方程为,又 c=2, 所求的椭圆的标准方程为,教材例2 : 已知B、C是两个定点,|BC|=6,且ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程。,分析:在解析几何里,求符合某种条件的点的轨迹方程,要建立适当的坐标系。为选择适当的坐标系,常常需要画出草图。,解:建立如图坐标系,使x轴经过点B、C,原点O与B

    7、C的中点重合。,|BC|=6 ,|AB|+|AC|=166=10,,但当点A在直线BC上,即y=0时,A、B、C三点不能构成三角形,所以点A的轨迹方程是:,O,X,Y,B,C,A,经画图分析,点A的轨迹是椭圆。,2c=6,,2a=16-6=10,,c=3,a=5,所以点A的轨迹是椭圆,,教材例3: 如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP中点M的轨迹。,解:设M(x,y), P(x0,y0),所以M点的轨迹是一个椭圆。,例3:若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆,求k的取值范围。,解:由 4x2+ky2=1,可得,因为方程表示的曲线是

    8、焦点在y轴上的椭圆,所以,即:0k4,所以k的取值范围为0k4。,例4、化简:,O,X,Y,F1,F2,M,(0,-3),(0 , 3),(x,y),答案:,|MF1|+ |MF2|=10,分析:点M(x,y)到两定点(0,-3)、(0,3)的距离之和为定值10。,3、椭圆的第二定义(性质补充):,平面上到一个定点(焦点)和到一条定直线(准线)的距离之比为小于1的正常数(离心率)的点的轨迹是一个椭圆;,准线方程为 ;,设 为椭圆上一点,则椭圆的左焦半径 ,右焦半径 ;,椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后, 反射光线会通过另一个焦点。,例5 给定 ,已知 是椭圆 上的点,F是左焦点,当 取最小值时,求点B的坐标.,例6 已知椭圆C: 的左右焦点分别是 、 ,离心率为 ,直线 与x轴、y轴分别交于点A、B,M是直线 与 椭圆C的一个公共点,P是点 关于直线 的对称点,设 1.证明: 2.确定 的值,使得 为等腰三角形.,三、小 结:,1、椭圆的两种定义,2、两种标准方程的比较,3、椭圆的准线概念以及光学性质,


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