1、变化率问题,变化率问题,即：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度,导数研究的问题,变化率问题,教材分析,函数是高中数学的主干内容，导数作为选修内容深而进入新课程，为研究函数提供了有力的工具，对函数的单调性，极值，最值等问题都得到了有效而彻底的解决。用导数方法研究函数问题是数学学习的必然也是高考命题的方向。而本节课是学习导数的第一课时，俗话说，万事开头难，这个头开好了，能为今后的深入学习和探究打下良好的知识基础和心理基础,重点：在实际背景下直观地实质地去理解平均变化率 难点：对生活现象作出数学解释,1.1.1变化率问题,问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气
2、球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?,气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是,如果将半径r表示为体积V的函数,那么,对思考的问题给一个科学的回答，就需要把这个生活现象从数学的角度，用数学语言进行描述，解决问题,对一种生活现象的数学解释,引导：,这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？引入气球平均膨胀率的概念,当空气容量从增加时，半径增加了,r(1)r(0)= 0.62,当空气容量从加时，半径增加了,r()r()= 0.,分析一下:,1、当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为,2、当V从1增加到2时,气球半径增加
3、了 气球的平均膨胀率为,显然0.620.16,上述问题表明：随着气球体积的增加， 当吹入相同体积的气体时，气球半径的增 加量越来越小（半径的增加速度越来越慢）。,探究活动,气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率,探究活动,思考：平均变化率的几何意义？引导学生研究以前学过和平均变化率差不多的表达式斜率，再引导出平均变化率的几何意义就是两点间的斜率，最后给出flash动画演示加强学生对平均变化率的直观感受。,探究活动,观看十运会中跳水男子十米台田亮逆转夺冠的影片剪辑，让同学们把这一生活现象用数学语言来解释，并描绘出田亮重心移动的图像,实践活动,假
4、设相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.，那么田亮在0秒到0.5秒时间段内的平均速度是多少，在1秒到2秒时间段内呢，在 时间段内呢?,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?,请计算：,我们发现：对于函数,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,平均变化率定义:,若设x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1)则平均变化率为,这里x看作是对于x1的一个“
5、增量”“变化量”，可正可负但不能为零；可用x1+x代替x2，即x2=x1+x f=y=f(x2)-f(x1),上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,思考?,观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1=x,f(x2)-f(x1)=y,直线AB的斜率,课外思考,思考：关于田亮跳水的例子，当我们计算田亮在某一段时间里的平均变化率分别为正数，负数，0的时候，其运动状态是怎样的？能不能用平均变化率精确的表示田亮的运动状态呢？,小结,让学生再次巩固变化率的概念，并发现生活中和变化率有关的
6、例子,1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( )A 3 B 3x-(x)2C 3-(x)2 D 3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。2x0+x,练习：,3、过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.,解：,练习：,2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.,A,教学反思,这节课主要是让学生体会平均变化率，让学生感受数学。高中正是学生人生观形成的重要时期，我觉得不仅要引导学生对数学的学习兴趣，让他们主动的学习数学，学会学习数学，如果还能在吸收知识的过程中教会他们学习做人 ，那真的是一箭双雕、一石二鸟的教学模式,小结：,1.函数的平均变化率：,2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率,即：平面直角坐标系中求两点间直线斜率公式。,
