1、第三章 2 导数在实际问题中的应用,2.2 最大值、最小值问题(二),1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.,问题导学,题型探究,学习目标,知识点 生活中的数学建模,1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 . 2.利用导数解决优化问题的实质是 . 3.解决优化问题的基本思路是：,问题导学 新知探究 点点落实,上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.,答案,返回,优化问题,求函数最值,数学建模,类型一 面积、容积的最值问题,例1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分
2、所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx cm. (1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大， 则x应取何值？,题型探究 重点难点 个个击破,解析答案,当且仅当x30x，即x15时，等号成立，,所以若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，则x15.,(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.,令V0，得0x20；令V0，得20x30.,解析答案,反思与感悟,1.这类问题一般用面积公式，体积公式
3、等作等量关系，求解时应选取合理的边长x作自变量，并利用题目中量与量之间的关系表示出其他有关边长，这样函数关系式就列出来了. 2.这类问题中，函数的定义域一般是保证各边(或线段)为正，建立x的不等式(组)求定义域.,反思与感悟,同步训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化.设ABM的面积为S(单位：m2)，AON(单位：弧度). (1)将S表示为的函数；,解析答案,解 如图，BMAOsin 100sin ，ABMOAOcos
4、 100100cos ，,(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积.,解 S5 000(2cos2 cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1).,解析答案,类型二 利润最大问题,(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；,解析答案,(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.,解析答案,反思与感悟,且当x(0,9)时，W0，当x(9,10)时，W0.,综合知：当x9时，W取得最大值38.6.,故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.,反思与感悟,解决此类
5、有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润收入成本； (2)利润每件产品的利润销售件数.,反思与感悟,所以a2.,解析答案,(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解析答案,从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).,于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,解析答案,由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该
6、商品所获得的利润最大.,类型三 费用(用材)最省问题,例3 已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8vv0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？,解析答案,反思与感悟,解 设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k0)， 则y1kv2，当v12时，y1720， 720k122，得k5.,令y0，得v16，当v016，,即v16 km/h时全程燃料费最省，ymin32 000(元)；,解析答案,反思与感悟,当v016，即
7、v(8，v0时，y0，,即y在(8，v0上为减函数，,综上，当v016时，v16 km/h全程燃料费最省，,为32 000元；,反思与感悟,1.用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答. 2.利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.,反思与感悟,解析答案,同步训练：,3.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A.4 B.6 C.4.5 D.8,解析 设底面
8、边长为x，高为h，,A,1.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y117x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产( ) A.9千台 B.8千台 C.6千台 D.3千台,1,2,3,4,解析答案,解析 构造利润函数yy1y218x22x3(x0)，y36x6x2， 由y0得x6(x0舍去)，x6是函数y在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点.,C,本课练习,1,2,3,4,解析答案,2.将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为_ cm.,1,2,3,4,解析答案,解析
9、 设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100x，,设正方形与圆形的面积之和为S，,1,2,3,4,由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，,规律与方法,1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤： (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)； (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0； (3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. 2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函
10、数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.,返回,1,2,3,4,解析答案,练习.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0x21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；,1,2,3,4,解 设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有 f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2). 由已知条件，得24k22，于是有k6. 所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21.,1,2,3,4,(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？,解 根据(1)，f(x)18x2252x43218(x2)(x12).,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故x12时，f(x)取得极大值. 因为f(0)9 072，f(12)11 664. 所以定价为301218，才能使一个星期的商品销售利润最大.,解析答案,今日作业：p69 A组 2、3、4,练习：见练习册第三单元,本课结束,谢谢大家,
