1、3.2.2最大值、最小值问题,求极值的步骤,2. 求导数 ；,3. 解方程 ；,4. 对于方程 的每一个解 ，分析 在 左右两侧的符号，确定极值点： 在 两侧若的符号,（1） “左正右负”，则 为极大值点；,（2） “左负右正”，则 为极小值点；,（3）相同，则 不是极值点；,1. 求函数f(x)的定义域 ；,一、复习引入,极值是函数的局部性质，而不是在整个定义域内 的性质，即：如果 是 的极大(小)值点，那 么在 附近找不到比 更大(小)的值。但是，解决实际问题或研究函数性质时，我们往 往更关心在某个区间上，函数的哪个值最大，哪个值 最小。,若 是 在 上的最大(小)值点，则 不小 (大)于
2、 在此区间上的所有函数值。,由图知，最大(小)值在极大(小)值点或区间的端 点处取得。,二、新课讲授,问题：对于函数的最值概念的学习，你认为 有哪些方面是值得注意的？,（1）函数的最值是一个整体性概念，最大值必须 是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必须 是整个区间上所有函数值中的最小者。,（2）函数的最大值和最小值是比较整个定义区间 的所有函数值得到的；极大值和极小值是比较极值 点附近的函数值得出的。极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只 能在区间内取得，最值可以在端点取得。,例1： 求函数 在区间 上的 最值。,求最值的步骤：,（1）求 f (x)在 (a，b) 内的极值；,（3）将
3、 f (x) 的各个极值与端点值 f (a)，f (b) 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。,（2）算 f (x) 的端点值 f (a)，f (b) ；,变式训练1. 求函数 在区间1，e上的最值。,日常生活中，人们常常会遇到这样的一些问题， 在一定条件下，怎样使得“用料最省”“利润最大”“成 本最低”“选址最优”等等。这类最值问题一般都可以 利用函数与导数的知识来解决。,三、问题探究,易拉罐包装的设计问题市场上有许多饮料都是用金属制成的易拉罐包装， 包装的形状也是多种多样的，在包装设计中有许多数学 问题。,1.背景分析 如何使得容量相同的饮料包装所需的 材料最少，就是节约
4、包装成本的含义。 据调查容量为330 mL 的饮料包装最为常见，仔细观察 发现，这种易拉罐的顶盖比底部和侧壁部分要厚，经调 查得知，这种设计是为了保证开启时的冲力不致将顶盖 掀起，顶盖厚度近似为其他部分的3倍，相应的单位面 积的成本也是侧壁部分的3倍.,下面我们讨论：在容量一定的情况下，怎样设计能节约包装的成本。,2.建立数学模型的方案,（1）模型假设1）一个易拉罐近似地看成一个圆柱体；2）影响易拉罐包装成本的量有底面半经、高、侧面面积、顶盖和底部的面积，其他因素忽略不计；,（2）变量表示1）设易拉罐的底面半径为 （单位：cm）2）设易拉罐的高为 （单位：cm）3）易拉罐的体积为 （单位：mL
5、）4）易拉罐的侧壁和底部每平方厘米的成本为1，顶盖每平方厘米的成本为35）易拉罐的包装成本为,3.求包装成本的最小值,3.求包装成本的最小值,4.实际应用分析,理论值：高约为 cm,底面直径约为 cm ； 高：底面直径= ：测量值：高约为 cm,底面直径约为 cm ； 高：底面直径= ：,四、课堂小结,1. 知识,2. 方法,3. 思想,五、作业布置,P69 A组 2,4,一 边长为 48 cm 的正方形铁皮，四角各截去一 大小相同的正方形后折起，可做成无盖的长方体容 器，其容积 V 是关于截去小正方形边长 x 的函数。,（1）随 x 的变化，容积 V 如何变化？ （2）截去小正方形边长为多少时， 容积最大？最大容积是多少？,动手做一做,分析：,解决实际应用问题，首先要分析并列出函数关 系，要注意根据实际意义写出定义域。求函数值的 变化情况即单调性，求导判断导数符号即可，求最 值就是求导、解方程求出极值点，最后通过比较函 数值写出最值。,解：,求导得,，,令 ，得,分析可知，x = 8 是极大值点，极大值为,V= f (x)在 上递增，在 上递减。,由表知：,（2）由函数的单调性和图像可知，x = 8时最大值点，,此时,V = f (8) =,即当截去小正方形边长为 8 cm时，得到最大容 积为 。,请指正，谢谢！,
