1、3.2.2最大值、最小值问题, 求极值的步骤：,1. 求导数 ；,2. 解方程 ；,3. 对于方程 的每一个解 ，分析 在 左右两侧的符号，确定极值点： 在 两侧若的符号,（1） “左正右负”，则 为极大值点；,（2） “左负右正”，则 为极小值点；,（3）相同，则 不是极值点；,复习回顾,极值是函数的局部性质，而不是在整个定义域内 的性质，即：如果 是 的极大(小)值点，那 么在 附近找不到比 更大(小)的值。但是，解决实际问题或研究函数性质时，我们往 往更关心在某个区间上，函数的哪个值最大，哪个值 最小。,若 是 在 上的最大(小)值点，则 不小 (大)于 在此区间上的所有函数值。,由图知
2、，最大(小)值在极大(小)值点或区间的端 点处取得。,概括,思考：如何求函数的最大(小)值？,问题：对于函数的最值概念的学习，你认为 有哪些方面是值得注意的？,例1 求函数 在区间 上的 最值。,最值是在极值点或者区间的端点取得的，所以 要想求最值，应首先求出函数的极值点，然后将所有的极大(小)值与端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值。,分析：,解：,求导得,令 ，得,通过比较可知：,列表可知， 是函数的极大值点， 是 极小值点，计算极值和端点的函数值得,总结,若 是 在 上的最大(小)值点，则 不小 (大)于 在此区间上的所有函数值。, 函数的最大(小)值：, 求最
3、值的步骤：,（1）求 f (x)在 (a，b) 内的极值；,（2）将 f (x) 的各极值与 f (a)，f (b) 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。,1. 求函数 在区间-1，2上的最值。,2. 已知函数 ，（1）求f (x) 单调减区间； （2）若f (x) 在-2，2上的最大值是20，求它在该 区间上的最小值。,动手做一做,例2 边长为 48 cm 的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，然后折起，可做成无盖的长方体容器，其容积 V 是关于截去的小正方形的边长 x 的函数。 （1）随 x 的变化，容积 V 如何变化？ （2）截去的小正方形边长为多少时，容器的容
4、积最大？最大容积是多少？,分析：,解决实际应用问题，首先要分析并列出函数关 系，要注意根据实际意义写出定义域。求函数值的 变化情况即单调性，求导判断导数符号即可，求最 值就是求导、解方程求出极值点，最后通过比较函 数值写出最值。,解：,求导得,，,令 ，得,分析可知，x = 8 是极大值点，极大值为,V= f (x)在 上递增，在 上递减。,由表知：,（2）由函数的单调性和图像可知，x = 8时最大值点，,此时,V = f (8) =,即当截去小正方形边长为 8 cm时，得到最大容 积为 。,日常生活中，人们常常会遇到这样的一些问题， 在一定条件下，怎样使得“用料最省”“利润最大”“成本最低”
5、“选址最优”等等。这类问题一般都可以利用导数的知识得到解决。,概括总结,练习,3. 设一容积 V 一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶， 已知单位面积铝合金的价格是铁的 3 倍，问如何设 计使得总造价最小？,提示：设圆柱高 h ，底半径 r ，单位面积铁的造价为 m ，桶总造价为 y ，则,动手做一做,（1）函数的最值是一个整体性概念，最大值必须 是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必须 是整个区间上所有函数值中的最小者。,（2）函数的最大值和最小值是比较整个定义区间 的所有函数值得到的；极大值和极小值是比较极值 点附近的函数值得出的。极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只 能在区间内取得，最值可以在端点取得。,注意：,概括总结,返回,小结,若 是 在 上的最大(小)值点，则 不小 (大)于 在此区间上的所有函数值。, 函数的最大(小)值：, 求最值的步骤：,（1）求 f (x)在 (a，b) 内的极值；,（2）将 f (x) 的各极值与 f (a)，f (b) 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。,谢谢大家！,
