1、利用导数研究函数单调性,1 、函数 f(x) 在点 x0 处的导数定义,2 、某点处导数的几何意义,3 、导函数的定义,函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数 f (x0) 就是曲线 y = f(x) 在点 M(x0, y0) 处的切线的斜率.,一、复习回顾：导数的相关概念,引例 已知函数y=x24x3,求证：这个函数在区间(2，+)上是单调递增的.,（1）任取x1x2( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）并变形 （3）判断符号 （4）下结论,用定义法判断函数单调性的步骤：,新课讲授,引入函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加
2、量之间的关系，于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？,这表明：导数的正、负与函数的单调性密 切相关,2,.,.,.,.,.,.,.,再观察函数y=x24x3的图象：,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数 的图像可以看到：,函数的导数与函数的单调性的关系,增函数,减函数,正,负,0,0,总结:该函数在区间（，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负,在区间（2，+）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.,设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y 0，那么y=f(x)为这个区间内的增函
3、数；如果在这个区间内y 0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.,判断函数单调性的常用方法：（1）定义法（2）图像法（3）导数法,结论：,y 0,增函数,y 0,减函数,判断函数单调性,1) 如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；,2) 如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。,一般地，函数yf（x）在某个区间(a,b)内：,注意:如果在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常数函数.,例1、已知导函数 的下列信息：,当10; 当x4,或x1时， 0; 当x=4,或x=1时， =0. 试画出函数f(x)图象的大致形状。,临
4、界点,例2、确定函数f(x)=x22x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.,解：f(x)=(x22x+4)=2x2.,令2x20，解得x1. 当x(1，+)时， f(x)0，f(x)是增函数.,令2x20，解得x1. 当x(，1)时，f(x)0，f(x)是减函数,你们写对了吗？,利用导数讨论函数单调的步骤:,(2)求导数,（3）求解不等式f (x)0，求得其解集再根据解集写出单调递增区间求解不等式f (x)0，求得其解集再根据解集写出单调递减区间,(1)求定义域D,说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x
5、的范围时,要与定义域求两者的交集单调区间不以“并集”出现,1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )(A) (-1,1) (B) (1,2) (C) (-,-1) (D) (-,-1) ，(1, +),课堂练习,答案：选A,2、判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,解:,(1) 因为 , 所以,因此, 函数 在 上单调递增.,(2) 因为 , 所以,当 , 即 时, 函数 单调递增;,当 , 即 时, 函数 单调递减.,1.在某个区间(a,b)内, 如果导函数大于零,那么原函数在这个区间内单调递增; 如果导函数小于零,那么原函数在这个区间内单调递减.,2.求可导函数f(x)单调区间的步骤： (1)先求定义域，然后f(x) (2)解不等式f(x)0(或f(x)0) (3)确认并指出递增区间（或递减区间）,3.证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法： (1)先求定义域，然后求f(x) (2)确认f(x)在(a,b)内的符号 (3)作出结论,课堂小结,
