1、问题的提出,问题一：,一个小球自由落体,它在下落3秒时的速度是多少？,问题二：,周长为60cm的正方形铁皮做一个无盖水箱, 先在四角截去一个小正方形,然后把四边翻转90o角, 再焊接而成.水箱底边多长时, 水箱容积最大？最大容积是多少？,第三章 变化率与导数,在报纸或电视节目中, 我们有时会得到这样的信息:,这种新研制的战斗机最大飞行高度18 000米, 最大冲刺速度1 480千米/时.,据某气象台报道, 某市在20日凌晨12时降雨强度达72毫米/时; 有的地方瞬间降雨强度达99毫米/时, 被称作“白雨”(眼睛已看不清景物).,“冲刺速度” “降雨强度”刻画的是飞行的路程和降雨量瞬时变化的情况
2、, 都是数学中导数概念的原型.,导数是数学中最重要的概念之一, 它在日常生活和科学研究中有广泛的应用.,M,x=x2-x1,y,如图, 曲线C是函数 y=f(x)的图象, P(x1, y1)是曲线C上的任意一点, Q(x2, y2)为P 邻近一点, PQ为C 的割线, PM/x轴, QM/y轴, 为PQ的倾斜角.,1 变化的快慢与变化率,一、平均变化率,记:,自变量的改变量,x,y=y2-y1,函数值的改变量,用它来刻画函数值在区间x1, x2上变化的快慢.,平均变化率,P,切线,T,请看：当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,x,y,当x0时,PQ PT,某一常数
3、,切线的斜率,1.切线：当点Q沿着曲线无限接近点P,即x0时,割线PQ有一个极限位置PT. 则我们把直线PT 称为曲线在点P处的切线.,2.切线的斜率：设切线的倾斜角为, 那么当x0时, 割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,3.如何求曲线上一点的切线的斜率：,（1）求y；,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;,指出了切线斜率的本质函数平均变化率的极限；,说明切线是割线的极限位置,切线的斜率是一个极限.,二、瞬时变化率,(瞬时变化率),例1. 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线的斜率、切线方程.,解：,因此, 切线方程为 y-2=2(x-1),
4、即y=2x.,例2.曲线y=x3在x=0处的切线是否存在？若存在, 求出切线的 斜率和切线方程, 若不存在, 请说明理由.,解：,(1)y =f(0+x)-f(0) =(x)3,因此,切线方程为 y=0.,注意：曲线的切线, 并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个, 甚至可以无穷多个.,问：曲线在点x0处一定有切线吗？,4.曲线在点x0处的切线有以下几种情形：,说明曲线在x0处有切线, 且切线的斜率是k.,说明曲线在x0处有切线,但切线的斜率不存在.,说明曲线在x0处没有切线.,练习1.判断曲线y=2x2在点P (1, 2 )处是否有切线, 如果有, 求出 切线方程.,4x-y-2=0,第3
5、秒,第3+t秒,三、瞬时速度,当t 0时,常数29.4,平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动, 就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.,1.平均速度：设物体的运动规律是ss(t), 则物体在t 到t +t 这段时间内的平均速度为,3.求瞬时速度一般可以分为三步：,（1）求s；,2.物体在时刻 t 的瞬时速度:物体在t 到 t +t 这段时间内, 当 t 0时的平均速度的极限；,解:,(1)将t =0.1代入上式,得:,从而平均速度 的极限是,即物体在t=2(s)时的瞬时速度是20m/s.,练习2.P56/2.,小 结,2.曲线在点P(x0, y0)处切线的斜率:,2.瞬时速度:,二、曲线的切线,三、速度,一、函数的变化率,1.函数 y=f(x)的平均变化率是:,2.函数 y=f(x)的的瞬时变化率是:,1.割线的斜率:,1.平均速度:,
