1、瞬时速度与导数,1.函数平均变化率:,函数值的改变量与自变量的改变量之比,2.函数平均变化率的几何意义,过曲线 上的点 割线的斜率。,复习提问：,二、概念形成,概念1.瞬时速度,一般地，对于任意时刻t0，对于s=s(t)，当t0时， 所趋近的常数值就是s=s(t)在t0处的瞬时速度。,二、概念形成,概念2.函数的瞬时变化率,设函数 在 及其附近有定义，当自变量在x=x0附近改变量为 时，函数值相应的改变量如果当 时，平均变化率趋近于一个常数 ，那么常数 称为函数 在点 处的瞬时变化率。,二、概念形成,概念3.导数的概念,“当 时，平均变化率趋近于常数 ”记作：,函数 在 处的瞬时变化率，通常称
2、为 在点 处的导数。,记作： 或,（1）函数 在 处的导数：,（2）导函数： 如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说f(x)在开区间 (a,b)内可导这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数f (x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作,即,二、概念形成 概念3.导数的概念,说明：弄清“函数f(x)在点 处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。,（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不
3、是变数。,（2）如果函数yf (x)在开区间(a ,b)内每一点都可导,就说函数yf (x)在开区间(a ,b)内可导，这时,对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数，这样就在开区间(a ,b)内 可构成一个新的函数，称作f (x)的导函数。,（4）函数f (x)在点x0处的导数 就是导函数在x=x0处的函数值，即 。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。,（3）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x）的导函数。,由定义求导数（三步法）,例1火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？,解：火箭的运动方程为h(t)
4、=100t gt2，,在t附近的平均变化率为,=100gt gt。,当t0时，上式趋近于100gt。 可见t时刻的瞬时速度h(t)=100gt。,令h(t)=100gt=0，解得,所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为0.,例2一正方形铁板在0C时，边长为10cm，加热后铁板会膨胀，当温度为tC时，边长变为10(1+at)cm，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率。,解：设温度的增量为t，则铁板面积S的增量S=1021+a(t+t)2102(1+at)2=200(a+a2t)t+100a2(t)2.,因此=200(a+a2t)+100a2t.,令t0，得S=200(a+a2t).,所以铁板对
5、温度的膨胀率为200(a+a2t).,例3. 求函数y=x2在点x=3处的导数。,解：因为y=(3+x)2-32=6x+(x)2.,所以,=6+x，,令x0，,6,所以函数y=x2在点x=3处的导数为6.,例4质点M按规律s(t)=at2+1作直线运动，若质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值。,解：因为s=a(t+t)2+1(at2+1)=2att+a(t)2，,所以 =2at+at，,当t0时，s=2at，,由题意知t=2时，s=8，即4a=8，解得a=2.,1设y=f(x)函数可导，则等于（ ）Af (1) B不存在 C f (1) D3f (1),C,课堂练习：,2若f(x
6、)=x3，f (x0)=3，则x0的值是（ ）A1 B1 C1 D,C,3设函数f(x)=ax3+2，若f (1)=3，则a=_。,1,4函数 在x=1处的导数是.,课堂小结,1.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。,2.要切实掌握求导数的三个步骤： 1）求函数的增量；（2）求平均变化率； （3）取极限，得导数。,3.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。,（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。,（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x）的导函数。,（3）如果函数yf (x)在开区间(a ,b)内每一点都可导,就说函数yf (x)在开区间(a ,b)内可导，这时,对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数，这样就在开区间(a ,b)内 可构成一个新的函数，称作f (x)的导函数。,（4）函数f (x)在点x0处的导数 就是导函数在x=x0处的函数值，即 。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。,
