1、第一章 导数及其应用,1.1.1 函数的平均变化率,假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系A是出发点，H是山顶爬山路线用函数yf(x)表示,自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1),问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？自变量x的改变量为x1x0，记作x，函数值的改变量为y1y0，记作y.,问题2：怎样用数量刻画山路的陡峭程度呢？,此人从点A爬到点B的位移可以用向量 来表示，,假设向量 对x轴的倾斜角为，直线AB的斜率为k，容易看出,问
2、题3： 能否刻画山路陡峭程度呢 ？,因表示A、B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡这就是说，竖直位移与水平位移之比 的绝对值越大，山坡越陡，反之，山坡越缓,现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？,一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。例如，山坡DE可近似的看作线段DE，再用对平直山坡AB分析的方法，得到此段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画。,注意：各小段的 是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值 来度量。由此我们引出函数平均
3、变化率的概念。,平均变化率的概念：,一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记x=x1x0，y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x)f(x0).,则当x0时，商 称作函数y=f(x)在区间x0，x0+x(或x0+x，x0)的平均变化率。,概念理解,(1)x0，x1是定义域内不同的两点， 因此x0，但x可正也可负； 而yf(x1)f(x0)为相应xx1x0的改变量， 因此y的值可正可负，也可为零 所以，平均变化率可正可负，也可为零,(2)函数f(x)在点x0处的平均变化率与自变量的增量x 有关，与x0也有关,(3)函数平均变化率的几何意义：函数图象上两点 连线的
4、斜率.,求函数平均变化率的步骤,求函数y=f(x)在x0附近的平均变化率 （1）确定自变量改变量x （2）求函数改变量y （3）求平均变化率,例1求函数y=x2在区间x0，x0+x (或 x0+x，x0)的平均变化率。,解：函数y=x2在区间x0，x0+x (或x0+x，x0)的平均变化率为,探究一：计算函数f(x)x2在区间1,1+x(x0)的平均变化率，其中x的值为： (1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01. 思考：当x越来越小时，函数f(x)在区间1,1x上的平均变化率有怎样的变化趋势？,探究二：求函数f(x)x2在x0=1,2,3附近的平均变化率 ，取x的值为2，哪一点附近的
5、平均变化率最大？ 思考：当x0越来越大时，函数f(x)在x0附近的平均变 化率有怎样的变化趋势？,由上式可以看出，当x0取定值时，x取不同的值，函数的平均变化率不同，当x取定值，x0取不同的值时，该函数的平均变化率也不一样。例如，x0取正值，并不断增大时，该函数的平均变化率也不断地增大，曲线变得越来越陡峭。,例2求函数 在区间x0，x0+x (或x0+x，x0)的平均变化率(x00，且x0+x0).,解：函数 的平均变化率为,1已知函数yf(x)x21，则在x2，x0.1时，y的值为 ( ) A0.40 B0.41 C0.43 D0.44解析：yf(2x)f(2)f(2.1)f(2)2.12220.41. 答案：B,课堂练习,课堂练习,2已知函数f(x)=x2+x的图象上的一点 A(1, 2)及临近一点B(1+x, 2+y), 则 ,小结：,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤:（1）确定自变量改变量x （2）求函数改变量y （3）求平均变化率,
