1、函数的平均变化率,例子 :,假设下图是一座山的剖面示意图,并在上面建立平面直角坐标系。A是出发点,H是山顶。爬山路线用函数y=f(x)表示。,H,自变量x表示某旅游者的水平位置,函数值y=f(x)表示此时旅游者所在的高度。想想看,如何用数量表示此旅游者登山路线的平缓及陡峭程度呢?,某旅游者从A点爬到B点,假设这段山路是平直的。设点A的坐标为(x0,y0),点B的坐标为(x1,y1),自变量x的改变量为x1x0,记作x,函数值的改变量为y1y0,记作y,即x=x1x0,y=y1y0,,假设向量 对x轴的倾斜角为,直线AB的斜率为k,容易看出,于是此人从点A爬到点B的位移可以用向量 来表示,,显然
2、,“线段”所在直线的斜率的绝对值越大,山坡越陡。这就是说,竖直位移与水平位移之比 的绝对值越大,山坡越陡;反之,山坡越平缓。,现在摆在我们面前的问题是:山路是弯曲的,怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢?,一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段,每一小段的山坡可视为平直的。例如,山坡DE可近似的看作线段DE,再用对平直山坡AB分析的方法,得到此段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画。,注意各小段的 是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡,高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值 来度量。由此我们引出函数平均变化率的概念。,平均变化率的概念:,一般地,已知函数y=f(x),x0
3、,x1是其定义域内不同的两点,记x=x1x0,y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x)f(x0).,则当x0时,商 称作函数y=f(x)在区间x0,x0+x(或x0+x,x0)的平均变化率。,说明: 1.函数y=f(x)在 处有定义; 2.式子中x 、y的值可正、可负,但的x值不能为0, y 的值可以为0; 3.若函数f (x)为常函数时, y=0; 4. 变式:,函数平均变化率的几何意义,过曲线 上的点 割线的斜率。,例1求函数y=x2在区间x0,x0+x (或x0+x,x0)的平均变化率。,解:函数y=x2在区间x0,x0+x (或x0+x,x0)的平均变化率为,例2求函数 在区
4、间x0,x0+x (或x0+x,x0)的平均变化率(x00,且x0+x0).,解:函数 的平均变化率为,达标练习,1.设函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+x时,函数的改变量为( )Af(x0+x) B f(x0)+x Cf(x0 ) x Df(x0+x) f(x0),D,2. 一质点运动的方程为s=12t2,则在一段时间1,2内的平均速度为( )A4 B8 C 6 D6,C,3. 将半径为R的球加热,若球的半径增加R,则球的表面积增加S等于( )A B C D,B,4、在,附近,取,,在四个函数:,中,平均变化率最大的是( ) A、 B、 C、 D、,B,5、过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q (1+x,1+y)作曲线的割线,求出当x=0.1时割线的斜率.,课堂小结,1、平均变化率的概念:,一般地,已知函数y=f(x),x0,x1是其定义域内不同的两点,记x=x1x0,y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x)f(x0).,则当x0时,商 称作函数y=f(x)在区间x0,x0+x(或x0+x,x0)的平均变化率。,2.式子中x 、y的值可正、可负,但的x值不能为0, y 的值可以为0; 3.若函数f (x)为常函数时, y=0; 4. 变式:,