1、3.1.5 空间向量的数量积,1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律. 2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 空间向量的夹角,答案,a，b,0，,(2)数量积的运算律,知识点二 空间向量的数量积,(1)定义 已知两个非零向量a，b，_叫做a，b的数量积，记作_,则|a|b|cosa，b,答案,ab.,(3)数量积的性质,返回,例1 如图所示，已知空间四边形ABCD的 每条边和对角线长都等于1，点E，
2、F分别是 AB，AD的中点，计算：,题型探究 重点突破,题型一 空间向量的数量积运算,解析答案,解析答案,解析答案,反思与感悟,由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和a，b，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使ab计算准确.,反思与感悟,跟踪训练1 已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为_.,解析答案,解析 abc0，(abc)20， a2b2c22(abbcca)0，,13,例2 如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，,题型二 利用数量积求夹角
3、,解析答案,反思与感悟,求OA与BC所成角的余弦值.,反思与感悟,利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零.,反思与感悟,跟踪训练2 如图所示，正四面体ABCD 的每条棱长都等于a，点M，N分别是 AB，CD的中点， 求证：MNAB，MNCD.,解析答案,例3 正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长.,题型三 利用数量积求距离,解析答案,反思与感悟,解析答案,由题意知|a|
4、b|c|2， 且a，b60，a，cb，c90.,反思与感悟,11415，,反思与感悟,利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a| 求解即可.,反思与感悟,跟踪训练3 如图，已知一个60的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB4，AC6，BD8，求CD的长.,解析答案,返回,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的_条件.,解析答案,解析 ab|a|
5、b|cosa，b|a|b|cosa，b1a，b0，当a与b反向时，不能成立.,充分不必要,1,2,3,4,5,2.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|_.,解析 |a3b|2(a3b)2a26ab9b2,解析答案,1,2,3,4,5,3.对于向量a、b、c和实数，下列命题中的真命题是_.(填序号) 若ab0，则a0或b0； 若a0，则0或a0； 若a2b2，则ab或ab； 若abac，则bc.,解析 对于，可举反例：当ab时，ab0； 对于，a2b2，只能推得|a|b|，而不能推出ab； 对于，abac可以移项整理得a(bc)0.,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,解析 |ab|2(ab)2a22abb210， |ab|2(ab)2a22abb26， 将上面两式左、右两边分别相减，得4ab4， ab1.,1,1,2,3,4,5,解析答案,5.若向量a，b满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|_.,将2得，2a2b20， b2|b|22a22|a|22，,课堂小结,求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模.,返回,
