1、,3.1.3 空间向量基本定理,共线向量定理,问题1,共线向量定理表明，任意一个向量可以用与它共线的一个非零向量来线性表示，而且这种表示是惟一的,平面向量基本定理,问题2,对向量 进行分解：,基底,基向量,如果 是平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 使,平面向量基本定理表明，任意一个平面向量可以用与它在同一平面内的两个不共线的非零向量来线性表示，而且这种表示是惟一的,平面向量 基本定理,共线向 量定理,二维,一维,？,？,问题3,在如图所示的长方体中，你能用向量 , , 表示向量 , 吗？,空间任一向量都能用三个不共面的向量来线性表示吗?,问题,请尝试通过平
2、面向量基本定理来类似地说出空间向量基本定理,空间中,不共面,空间任一向量,存在惟一的有序实数组,如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在惟一的有序实数组 ,使,空间向量的基本定理,(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.,(1),(3),如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底 ,特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示,存在性,证明：,设 不共面，,过点 作 ,过点 作直线 ，交平面 于点 ；,在平面 内，过 点作直线 分别与直线 相交于点,根据向量共线的条件，存在三个确定的实数 ，使,所以,所以,惟一性,假设还存在 且不妨设 使,那么,即,因为,所以,从而 共面，与已知矛盾,因此 是惟一的,平面向量 基本定理,共线向 量定理,二维,一维,空间向量 基本定理,三维,？,？,根据向量共线的条件，存在三个确定的实数 ，使,所以,所以,推论：设 是不共面的四点，则对空间任一点 都存在惟一的三个有序实数 使,C,O,B,A,P,P,P,解：(1),(2),可得,所以,例1 如图，在正方体 中，点 是 与 的交点， 是 与 的交点，,(1)用向量 表示向量,变式：若 为 与 的交点， 是 的中点试用向量 表示 和,通过本节课的学习，你学习了哪些数学知识和方法,课堂小结,
