1、抛物线的几何性质,前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质,它们都是通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么?,一、复习回顾：,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,二、 练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）,开口向右,开口向左,开口向上,开口向下,一、抛物线的几何性质,抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。,1、范围,由抛物线y2 =2px（p0）,所以抛物线的范围为,2、对称性,定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线 的顶点。,由
2、y2 = 2px （p0）当y=0时,x=0, 因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。,注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。,、顶点,4、开口方向,抛物线y2 =2px（p0）的开口方向向右。,+X，x轴正半轴，向右,-X，x轴负半轴，向左,+y，y轴正半轴，向上,-y，y轴负半轴，向下,5、离心率,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离 之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。,下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。,（二）归纳：抛物线的几何性质,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （
3、p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,特点：,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有 对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、 一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,补充（1）通径：,通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,P越大,开口越开阔,（2）焦半径：,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,焦半径公式：,（
4、标准方程中2p的几何意义）,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。,例：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（， ），求它的标准方程，并用描点法画出图形。,所以设方程为：,因此所求抛物线标准方程为：,（三）、例题讲解：,作图：,(1)列表（在第一象限内列表）,(2)描点：,(3)连线：,课堂练习：,求适合下列条件的抛物线的方程：,（1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且 经过点M(5,-4).,例1、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm，求抛物
5、线的标准方程及焦点的位置。,F,y,x,O,解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，x轴垂直于灯口直径。,A,B,设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点A的坐标是（40，30），代入方程可得,所求的标准方程为 焦点坐标为,(三）、课堂练习：,1、已知抛物线的顶点在原点，对称 轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那 么抛物线通径长是 .2、一个正三角形的三个顶点，都在抛 物线 上，其中一个顶点为坐标 原点，则这个三角形的面积为 。,例2：已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 相交的公共弦等于 ，求这条抛物线的方程,解：设所求的抛物线方程为 或,再 见,
