1、,2.4.2 抛物线的几何性质,一、温故知新,(一) 圆锥曲线的几何性质,平面内,到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹,当e1时,是双曲线 ,当0e1时,是椭圆;,(定点F不在定直线l上),当e=1时,是抛物线 ,(二) 抛物线的标准方程,(1)开口向右,y2 = 2px (p0),(2)开口向左,y2 =2px (p0),(3)开口向上,x2 = 2py (p0),(4)开口向下,x2 =2py (p0),由抛物线y2 =2px(p0),所以抛物线的范围为,二、探索新知,如何研究抛物线y2 =2px(p0)的几何性质?,即点(x,y) 也在抛物线上,故 抛物线y2 = 2px
2、(p0)关于x轴对称,则 (y)2 = 2px,若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px,,定义:抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点,y2 = 2px (p0)中, 令y=0,则x=0,即:抛物线y2 = 2px (p0)的顶点(0,0),抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比,叫做抛物线的离心率,由定义知, 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1,F,A,B,y2=2px,2p,过焦点而垂直于对称轴的弦AB,称为抛物线的通径,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图,|AB|=2p,2p越大,抛物线张口越大,连接抛物线任意一点与焦点的线
3、段叫做抛物线的焦半径,|PF|=x0+p/2,焦半径公式:,F,基本点:顶点,焦点,基本线:准线,对称轴,基本量:P(决定抛物线开口大小),抛物线的基本元素 y2=2px,y2 = 2px (p0),y2 = 2px (p0),x2 = 2py (p0),x2 =2py (p0),关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),归纳:(1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线;(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线;(4)抛物线的离心率e是确定的为;(5)抛物线的通
4、径为2p,2p越大,抛物线的张口越大,因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(, ),,解:,所以设方程为:,因此所求抛物线标准方程为:,三、典例精析,例 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(, ),求它的标准方程,探照灯、汽车前灯的反光曲面,手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面,抛物镜面:抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面,灯泡放在抛物线的焦点位置上,通过镜面反射就变 成了平行光束,这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理,平行光线射到抛物镜面上,经镜面反射后,反射 光线都经过抛物线的焦点,这就是太阳灶能把光能转 化为热能的理论依据,例2 探照灯反
5、射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源 位于抛物线的焦点处已知灯口圆的直径为60cm,灯深 40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置,(40,30),解:,设抛物线的标准方程为:y2=2px,由条件可得A (40,30),代入方程得:,302=2p40,解之: p=,故所求抛物线的标准方程为: y2= x,焦点为( ,0),图中是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米 水下降1米后,水面宽多少?,o,A,思考题,2,B,A(2,2),x2=2y,B(1,y),y=05,B到水面的距离为15米,不能安全通过,y=3代入得,例3,(1)已知点A(2,3)与抛物线的焦点的距离是5,则P
6、 = ,(2)抛物线 的弦AB垂直x轴,若|AB|= , 则焦点到AB的距离为 ,(3)已知直线xy2与抛物线 交于A,B两点,那么线段AB的中点坐标是 ,四、课堂练习,5点A的坐标为(3,1),若P是抛物线 上的一动点,F是抛物线的焦点,则|PA|PF|的最小值为( )A 3 B 4 C 5 D 6,4求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点在直线x2y40上 (2)焦点在轴x上且截直线2xy10所得的弦长为,6已知Q(4,0),P为抛物线 上任一点,则|PQ|的最小值为( )A B C D,五、归纳总结,抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线;,抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,抛物线的离心率是确定的,等于;,抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线;,抛物线的通径为2p,2p越大,抛物线的张口越大,1范围:,2对称性:,3顶点:,4离心率:,5通径:,6光学性质:,从焦点出发的光线,通过抛物线反射就变成了平行光束,