1、,2.4.2 抛物线的几何性质,一、温故知新,（一） 圆锥曲线的几何性质,平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹,当e1时，是双曲线 ,当0e1时，是椭圆；,（定点F不在定直线l上）,当e=1时，是抛物线 ,（二） 抛物线的标准方程,（1）开口向右,y2 = 2px （p0）,（2）开口向左,y2 =2px （p0）,（3）开口向上,x2 = 2py （p0）,（4）开口向下,x2 =2py （p0）,由抛物线y2 =2px（p0）,所以抛物线的范围为,二、探索新知,如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质?,即点（x,y） 也在抛物线上,故 抛物线y2 = 2px
2、（p0）关于x轴对称,则 （y）2 = 2px,若点（x,y）在抛物线上, 即满足y2 = 2px，,定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点,y2 = 2px （p0）中， 令y=0,则x=0,即：抛物线y2 = 2px （p0）的顶点（0，0）,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率,由定义知， 抛物线y2 = 2px （p0）的离心率为e=1,F,A,B,y2=2px,2p,过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图,|AB|=2p,2p越大，抛物线张口越大,连接抛物线任意一点与焦点的线
3、段叫做抛物线的焦半径,|PF|=x0+p/2,焦半径公式：,F,基本点：顶点，焦点,基本线：准线，对称轴,基本量：P（决定抛物线开口大小）,抛物线的基本元素 y2=2px,y2 = 2px （p0）,y2 = 2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 =2py （p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,归纳:（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心;（3）抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；（4）抛物线的离心率e是确定的为；（5）抛物线的通
4、径为2p，2p越大，抛物线的张口越大,因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（， ），,解:,所以设方程为：,因此所求抛物线标准方程为：,三、典例精析,例 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（， ），求它的标准方程,探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面,抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面,灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理,平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射 光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转 化为热能的理论依据,例2 探照灯反
5、射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源 位于抛物线的焦点处已知灯口圆的直径为60cm，灯深 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置,（40,30）,解:,设抛物线的标准方程为：y2=2px,由条件可得A （40，30）,代入方程得:,302=2p40,解之: p=,故所求抛物线的标准方程为: y2= x,焦点为（ ,0）,图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米 水下降1米后，水面宽多少？,o,A,思考题,2,B,A（2,2）,x2=2y,B（1，y）,y=05,B到水面的距离为15米,不能安全通过,y=3代入得,例3,（1）已知点A（2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则P
6、 = ,（2）抛物线 的弦AB垂直x轴，若|AB|= ， 则焦点到AB的距离为 ,（3）已知直线xy2与抛物线 交于A，B两点，那么线段AB的中点坐标是 ,四、课堂练习,5点A的坐标为（3，1），若P是抛物线 上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|PF|的最小值为（ ）A 3 B 4 C 5 D 6,4求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点在直线x2y40上 （2）焦点在轴x上且截直线2xy10所得的弦长为,6已知Q（4,0），P为抛物线 上任一点，则|PQ|的最小值为（ ）A B C D,五、归纳总结,抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；,抛物线只有一条对称轴，没有对称中心;,抛物线的离心率是确定的，等于；,抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；,抛物线的通径为2p，2p越大，抛物线的张口越大,1范围：,2对称性：,3顶点：,4离心率：,5通径：,6光学性质：,从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束,
