1、2.2.1椭圆及其标准方程,如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？,生活中的椭圆,一.课题引入：,椭圆的画法,注意: （1）两个定点-两点间距离确定;(常记作2c) （2）绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定. (常记作2a, 且2a2c),1 .椭圆定义：平面内与两个定点 的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ,二.讲授新课：,若2a=F1F2轨迹是什么呢？,若2aF1F2轨迹是什么呢？,轨迹是一条线段,轨迹不存在,2.椭圆标准方程的推导,(1)复习回顾:求曲线方程的一般步骤是怎么样的?,建系 设点 限制列式
2、代换 化简“建设现代化”,(2)如何建系,使求出的方程最简呢?,有两种方案:,O,X,F1,F2,M,方案一,O,X,Y,F1,F2,M,方案二,Y,O,X,Y,F1,F2,M,如图所示： F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a2c)的动点M的轨迹方程。,解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。,(-c,0),(c,0),(x,y),设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，,则:|MF1|+ |MF2|=2a,方案一,O,X,Y,F1,F2,M,(-c,
3、0),(c,0),(x,y),两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因为2a2c，即ac，所以a2-c20，令a2-c2=b2，其中b0，代入上式可得：,b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2得：,叫做椭圆的标准方程。,它所表示的椭圆的焦点在x轴上， 焦点是 ，中心在坐标原点 的椭圆方程 ,其中,p39思考: 你能找出表示a,c, (即b)线段吗？,A,若选取方案2:椭圆的焦点在y轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的呢?,O,X,F1,F2,M,Y,也是椭圆的标准方程。,O,X,F1,F
4、2,M,Y,Y,3、椭圆的标准方程,注:（1）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。,焦点在x轴：,焦点在y轴：,（2） 若 x2 项的分母大，则其焦点就在 x 轴上，若 y2 项的分母大，则其焦点就在 y 轴上，,4.例题讲解,例1 判断下列椭圆的焦点的位置，并指出焦点的坐标。,（1）,（2）,（3 ）,x轴上；,y轴上；,X轴上；,距离为,则P点到另一个焦点的距离为,5.练习(类型1 椭圆定义的应用)：,1.已知椭圆方程： 则_, N_0,2.已知椭圆方程： 则焦点坐标为( )、( ), ,0, 3 0,-3,5、椭圆 的焦距是,则 m 的值等于_,5 或 3,3、已知椭
5、圆 上一点P到椭圆一个焦点的,4、已知A(-4,O)、B(4,O), ABC顶点C的轨迹方程为 (x 5)，则ABC的周长为,18,解： 椭圆的焦点在x轴上，,由椭圆的定义知，, 设它的标准方程为,又 c=2, 所求的椭圆的标准方程为,6.例题（类型2 利用椭圆的定义求椭圆的标准方程） 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：,P40思考：你还能用其它方法求它的方程吗？ 哪种方法简单？你有什么体会？,点 在椭圆上，两个焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0）,解：设椭圆的标准方程为,则, 所求的椭圆的标准方程为,（类型3 待定系数法求椭圆的标准方程）,1、利用椭圆定义求椭圆方程，需先找出满足定义
6、的条件，,即,归纳升华,2、（待定系数法）求椭圆标准方程的步骤：,定型：确定它是椭圆；,定量：求a, b的值.,定位：确定焦点所在的坐标轴；,所求的椭圆的标准方程为:,练习题：求适合下列条件的椭圆的标准方程：,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,MF1 + MF2 =2a (2a2c0),定 义,注:,共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.,不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大.焦点在y轴的椭圆 项分母较大.,7.小结,常规解法:(1)当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程：,依题意知:,6.例题（类型3 待定系数法求椭圆的标准方程&巧思妙解）,(2)当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程：,依题意知:,解得,所求椭圆的标准方程:,巧妙解法: 设椭圆的方程：,依题意知:,即,解得,所求椭圆的标准方程:,
