1、2.2 等差数列,第1课时 等差数列的概念及通项公式,一,二,三,2.填空: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等 于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.,3.等差数列概念的理解: (1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项; (2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征); (3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒; (4)公差可以是正数、负数、零; (5)等差数列的增减性与公差d的关系:当d0时,是递增数列;当d0时,是递减数列;当
2、d=0时,是常数列.,一,二,三,二、等差中项 【问题思考】 1.在下面两个数之间,插入一个怎样的数,这三个数就可以构成等差数列?插入的数唯一吗? (1)2, ,6;(2)10, ,-30;(3)9, ,9.,提示插入的数分别是4,-10,9,插入的数是唯一的.,2.填空: 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时 ,A叫做a与b的等差中项.这三个数满足关系式2A=a+b.,一,二,三,三、等差数列的通项公式 【问题思考】 1.给出等差数列an:1,4,7,10,13,请根据下列两种思路探求其通项公式: (1)根据等差数列的定义,an的递推公式可以如何表示?利用累加法能否
3、求得an的通项公式? (2)根据等差数列的定义,能否将an的各项都利用首项和公差表示出来?由此归纳an的通项公式.,提示(1)an的递推公式是a1=1,an-an-1=3(n2),累加可得an=3n-2; (2)a1=1,a2=a1+3,a3=a2+3=a1+23,an=a1+(n-1)3.,2.填空: 等差数列的通项公式 以a1为首项,d为公差的等差数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d.,3.做一做: (1)等差数列an:5,0,-5,-10,的通项公式是 . (2)若等差数列an的通项公式是an=4n-1,则其公差d= .,解析(1)易知a1=5,d=-5,所以an=5+(n-1)
4、(-5)=10-5n; (2)公差d=an-an-1=(4n-1)-4(n-1)-1=4. 答案(1)an=10-5n (2)4,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数,那么这个数列是等差数列. ( ) (2)若数列an满足an-an-1=d(d是常数),则an是等差数列. ( ) (3)任何两个实数都有等差中项,且其等差中项是唯一的. ( ) (4)在等差数列中,除第1项和最后一项外,其余各项都是它前一项和后一项的等差中项. ( ) (5)若数列an的通项公式是an=kn+b(k,bR),则an一定是等差数列.
5、( ),答案(1) (2) (3) (4) (5),【例1】 (1)在等差数列an中,首项a1=-1,公差d=3,则当an=2 018时,n等于( ) A.671 B.672 C.673 D.674 (2)在等差数列40,37,34,中,第一个负数项是( ) A.第13项 B.第14项 C.第15项 D.第16项 (3)在等差数列an中,若a3=12,a6=27,则其通项公式为 . 思路分析(1)与(2)均可先求通项公式,再利用通项公式解决相应问题;(3)可根据已知条件建立关于a1和d的方程组,求得a1和d即可得到通项公式.,反思感悟等差数列通项公式的求法与应用技巧 1.等差数列的通项公式可由
6、首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差. 2.等差数列an的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”. 3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量为n的一次函数.,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1.已知数列an的通项公式an=2n+5,则此数列( ) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 解析an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2, 数列an是公差为2的等差数列. 答案A,5.已知x,y,z成等差数列,求证:x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列. 证明因为x,y,z成等差数列,所以2y=x+z, 而x2(y+z)+z2(y+x)=x2y+x2z+z2y+z2x =x2y+z2y+xz(x+z)=x2y+z2y+2xyz=y(x+z)2=2y2(x+z), 故x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.,
