1、3.2 一元二次不等式及其解法,第1课时 一元二次不等式及其解法,一,二,一、 一元二次不等式的概念 【问题思考】 1.从未知数的个数以及未知数的最高次数看,不等式x2-2x-30,x2+5x0,-3x2-6x+10,4x2-10等有什么共同特点? 提示它们只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2.,2.填空: 一元二次不等式的概念及形式 (1)概念:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. (2)形式: ax2+bx+c0(a0); ax2+bx+c0(a0); ax2+bx+c0(a0); ax2+bx+c0(a0).(3)解集:一般地,使某个一元二次
2、不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.,解析中当a=0时,它不是一元二次不等式;中有两个未知数,它不是一元二次不等式;是一元二次不等式;是分式不等式. 答案A,一,二,二、 一元二次不等式的解法 【问题思考】 1.填空:,2.做一做: (1)不等式x2-2x0的解集是 . (2)不等式x2+3x+62或x0 (2),判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)不等式ax2+3ax-70是一元二次不等式.( ) (2)若关于x的不等式ax2+bx+c0. ( ) (3)若关于x的不等式ax2+bx+c0的解
3、集是(-,x1x2,+),则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2. ( ) (4)若关于x的方程ax2+bx+c=0没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为R. ( ) (5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则关于x的不等式ax2+bx+c0的解集一定不是空集. ( ) 答案(1) (2) (3) (4) (5),1,2,3,【例1】 解下列不等式: (1)2x2-3x-20; (2)-3x2+6x-20; (3)4x2-4x+10; (4)x2-2x+20. 思路分析先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.,反思感悟
4、解不含参数的一元二次不等式的一般步骤: (1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集.,变式训练1解下列不等式: (1)4x2-20x-25; (2)(x-3)(x-7)0; (3)-3x2+5x-40; (4)x(1-x)x(2x-3)+1.,1,2,3,【例2】 求实数a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx
5、+a2-10的解集分别为: (1)-1,2;(2)(-,-12,+);(3)-1,+). 思路分析根据解一元二次不等式的方法,逆向分析与思考,得出不等式对应方程根的情况,利用根与系数的关系进行求解.,反思感悟1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题. 2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)0(x10时,其解集是x|x1x2,当a0时,其解集是x|x1xx2.,变式训练2已知关于x的不等式x2+ax+b0的解集.,1,2,3,解析因为=1-8=-70,且对应函数图象的开口向上,所以不等式的解集为. 答案A,2.函数f(x)=lg(1-x)(x-4)的定义域为( ) A.(1,4) B.1,4) C.(-,1)(4,+) D.(-,1(4,+) 解析由题意知(x-1)(x-4)0,解得1x4.所以函数f(x)的定义域为(1,4). 答案A,4.不等式-6x2-x+20的解集是 .,5.若关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-10对于xR恒成立,求实数m的取值范围.,
