1、4.1.2 圆的一般方程,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.圆的一般方程 当D2+E2-4F0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆,此方程叫做圆的一般方程,其中圆心为 ,半径长为 .,2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形,3.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤 (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; (3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.,自我检测,1.(圆的一般方程)已知圆x2+y2-4x+2y-4=0,则圆心坐标、半径的长分别是( ) (A
2、)(2,-1),3 (B)(-2,1),3 (C)(-2,-1),3 (D)(2,-1),9,A,C,3.(圆的一般方程的应用)若直线l:ax-by+1=0平分圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的周长,则a+2b的值为( ) (A)1 (B)-1 (C)4 (D)-4,A,4.(求圆的一般方程)以点A(0,0),B(4,3)为直径的两个端点的圆的一般方程是 .,答案:x2+y2-4x-3y=0,5.(与圆有关的轨迹问题)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是 .,答案:x2+y2=4(y0),题型一,二元二次方程与圆的关系,课堂探究素养提升,【思
3、考】 1.圆的一般方程的结构有什么特征? 提示:x2和y2的系数相等均为1,没有xy项. 2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具备什么条件才能表示圆? 提示:需同时具备三个条件:A=C0;B=0;D2+E2-4AF0.,【例1】 下列方程各表示什么图形?若表示圆,求出其圆心和半径. (1)x2+y2+x+1=0; (2)x2+y2+2ax+a2=0(a0); (3)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a0).,解:(1)D=1,E=0,F=1,D2+E2-4F=1-4=-30,所以方程(1)不表示任何图形. (2)D=2a,E=0,F=a2,D2+E2-4F=4a2-4a
4、2=0,所以方程(2)表示点(-a,0).,方法技巧 判断二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆的方法 (1)利用圆的一般方程的定义,求出D2+E2-4F利用其符号判断. (2)将方程配方化为(x-a)2+(y-b)2=m的形式,根据m的符号判断.,即时训练1-1:下列方程能表示圆吗?若能表示圆,求出圆心坐标和半径. (1)2x2+y2-7x+5=0; (2)x2-xy+y2+6x+yt=0; (3)2x2+2y2-4x=0; (4)x2+y2-2x+6y-8=0.,解:(1)不能表示圆,因为方程中x2,y2的系数不相同. (2)不能表示圆,因为方程中含有xy项. (3)能表示圆
5、,原方程经过约分、配方后得(x-1)2+y2=1,知此方程表示的圆的圆心为(1,0),半径为1.,(2)将原方程转化为(x+a)2+y2=a2(a0), 表示圆,圆心为(-a,0),半径r=|a|.,(4)将原方程转化为(x+10)2+y2=102-1620,不表示任何图形.,(4)因为D2+E2-4F=202+02-4162=-6240,所以不表示任何图形.,解:(1)由于x2,y2的系数不相等,所以该二元二次方程表示的不是圆. (2)由于该二元二次方程中含有xy项,所以该二元二次方程表示的不是圆. (3)由于D2+E2-4F=4+16-24=-40,所以该二元二次方程表示的不是圆.,【备用
6、例1】 判断下列方程是否表示圆,若是,写出圆心和半径. (1)3x2+y2+2x+1=0;(2)x2+y2+xy+1=0;(3)x2+y2+2x-4y+6=0;(4)x2+y2+x+2y+1=0;(5)x2+y2-4mx+2my+20m-20=0.,题型二,求圆的方程,【例2】 (12分)已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求ABC外接圆的方程.,变式探究:若本例改为已知圆过A(2,2),C(3,-1),且圆关于直线y=x对称,求圆的一般方程.,方法技巧 对圆的一般方程和标准方程的选择 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题,一般采用圆的标
7、准方程,再用待定系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再利用待定系数法求出常数D,E,F.,【备用例2】 求圆心在y=-x上且过两点(2,0),(0,-4)的圆的一般方程,并把它化成标准方程.,题型三,求动点的轨迹方程(或轨迹),【例3】 已知直角ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求: (1)直角顶点C的轨迹方程;,法二 同法一得x3且x-1. 由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(
8、x3且x-1).,(2)直角边BC中点M的轨迹方程.,方法技巧 求与圆有关的轨迹方程的常用方法 (1)直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点所满足的条件,并用坐标表示,化简即得轨迹方程. (2)定义法:当动点的轨迹符合圆的定义时,可直接写出动点的轨迹方程. (3)相关点法:若动点P(x,y)随着圆上的另一动点Q(x1,y1)运动而运动,且x1,y1可用x,y表示,则可将Q点的坐标代入已知圆的方程,即得动点P的轨迹方程.,即时训练3-1:(1)动圆x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心的轨迹方程为 . (2)如图,经过圆x2+y2=4上任意一点P作x轴的垂线,垂足为Q. 求线段PQ的中点M的轨迹方程.,答案:(1)x-2y-1=0,【备用例3】 已知线段AB的端点B的坐标为(8,6),端点A在圆C:x2+y2+4x=0上运动,求线段AB的中点P的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么?,题型四,易错辨析忽略二元二次方程表示圆的条件而致误,【例4】 已知圆的方程是x2+y2+kx+2y+k2=0,且点(1,2)在圆外,求k的取值范围.,谢谢观赏！,
