1、2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算 第一课时 对 数,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,想一想 如果已知细胞分裂后的个数N,能求出分裂次数x吗? (能),【情境导学】 导入 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个依此类推,那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少?分裂多少次得到细胞个数为8个,16个呢? 解:1个细胞分裂x次得到细胞个数N=2x,因为23=8,24=16,所以N=8时,x=3; N=16时,x=4,即细胞分裂3次,4次分别得到细胞个数为8个,16个.,知识探究,1.对数的概念 一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的
2、对数,记作 ,其中a叫做对数的 ,N叫做 . 2.常用对数与自然对数 (1)常用对数:通常我们将以 为底的对数叫做常用对数,记作 . (2)自然对数:以e为底的对数称为自然对数,记作 . 3.对数loga N(a0,且a1)具有下列简单性质 (1) 没有对数,即N 0; (2)1的对数为 ,即loga1= ; (3)底数的对数等于 ,即logaa= ;,底数,真数,lg N,ln N,10,负数和零,零,0,1,1,x=logaN,N,探究:为什么零和负数无对数? 答案:由对数的定义:ax=N(a0且a1),则总有N0,所以转化为对数式x= loga N时,不存在N0的情况.,【拓展延伸】 1
3、.指数式与对数式的互化 (1)对数式logaN=x是由指数式ax=N而来的,两式底数相同,对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N,而对数值x是指数式中的幂指数.对数式与指数式的关系如图.(2)由于正数的任何次幂都是正数,即ax0(a0),故N=ax0.因此logaN只有在a0,且a1,N0时才有意义. 在规定了a0,a1,N0后,logaN的值便随着a,N的确定而唯一确定了.根据这一规定,我们知道并不是每一个指数式都能直接改写成对数式.如(-2)2=4,不能写成log-24=2,只有a0,a1,N0时,才有ax=Nx=logaN.,2.对数运算性质的证明 (1)对数的运算性质的证明 设loga
4、M=p,logaN=q. 由对数的定义可得M=ap,N=aq, 所以MN=apaq=ap+q, 所以loga(MN)=p+q, 即证得loga(MN)=logaM+logaN. (2)对于性质(1),可做如下推广:loga(N1N2Nn)=logaN1+logaN2+logaNn (Ni0,i=1,2,3,n). (3)对于上述运算性质,都要注意只有当所有的对数式都有意义时,等式才能成立.如log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是错误的. (4)在运用对数的运算性质时,要特别注意性质的逆应用.如lg 2+lg 5=lg 10=1.,自我检测,C,1.(对数概念)下列选项中
5、,可以求对数的是( ) (A)0 (B)-5 (C) (D)-x2 2.(指对互化)若b=a2(a0且a1),则有( ) (A)log2b=a (B)log2a=b (C)logba=2 (D)logab=2 3.(对数概念)在对数式logx-1(3-x)中,实数x的取值范围应该是( ) (A)(1,3) (B)(1,2)(2,+) (C)(3,+) (D)(1,2)(2,3),D,D,答案:1,答案:3,4.(性质)log2 0181+log2 0182 018= .,题型一,对数的概念,课堂探究素养提升,解:(1)log5625=4.,(3)ln 10=2.303; (4)lg 0.01=
6、-2.,解:(3)e2.303=10. (4)10-2=0.01.,在利用ax=N(a0,且a1)x=logaN(a0,且a1)进行互化时,要分清各字母或数字分别在指数式和对数式中的位置.,误区警示,(2)log(x+3)(x+3).,题型二,对数的简单性质,解:(1)设t=log3x,则log5t=0, 所以t=1,即log3 x=1,所以x=3. (2)由log3(lg x)=1,得lg x=3, 故x=103=1 000. (3)由lnlog2(lg x)=0, 得log2(lg x)=1,所以lg x=2,故x=102=100.,【例2】 求下列各式中x的值. (1)log5(log3
7、x)=0; (2)log3(lg x)=1; (3)lnlog2(lg x)=0.,方法技巧 解决此类问题应抓住对数的两条性质loga1=0和logaa=1(a0,且a1),这是将对数式化简、求简单对数值的基础,若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算求解.,(3)10x=100=102,于是x=2. (4)由-ln e2=x,得-x=ln e2,即e-x=e2. 所以x=-2.,(2)log2log3(log4x)=0.,解:(2)因为log2log3(log4x)=0, 所以log3(log4x)=1, 所以log4x=3,所以x=43=64.,题型三,对数恒等式 =N(a0,且a1,N
8、0)的应用,(3)101+lg 2; (4)e-1+ln 3.,方法技巧,题型四,易错辨析忽视底数范围致错,【例4】 已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值.,错解:由对数的性质可得x2+3x=x+3, 解得x=1或x=-3. 纠错:错解中忘记检验底数需大于0且不等于1.,解析:由已知得-2x-1=x2-9. 即x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2. 经检验,x=2时,-2x-10,x2-90, 与对数的真数大于0矛盾,故x=2舍去. 所以原方程的根为x=-4,故选B.,即时训练4-1:方程lg(-2x-1)=lg(x2-9)的根为( ) (A)2或-4 (B)-4 (C)2 (D)-2或4,谢谢观赏！,
