1、第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭 圆 2.1.1 椭圆及其标准方程,新知探求,课堂探究,新知探求 素养养成,知识点一,问题1:在平面直角坐标系中,若A(-4,0),B(4,0),当|PA|+|PB|=10,|PA|+|PB| =8,|PA|+|PB|=6时,点P的轨迹分别是什么图形? 答案:当|PA|+|PB|=10时,点P的轨迹是以A(-4,0) ,B(4,0)为焦点的椭圆;当|PA|+|PB|=8时,点P的轨迹是线段AB;当|PA|+|PB|=6时,点P的轨迹不存在. 梳理 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ,
2、两焦点之间的距离叫做椭圆的 .,椭圆的定义,和,焦点,焦距,问题2:在标准方程中怎样确定焦点的位置? 答案:标准方程中根据x2,y2对应的分母的大小可以确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上,x2对应的分母大,焦点就在x轴上,y2对应的分母大,焦点就在y轴上. 梳理,a2-b2,知识点二,椭圆的标准方程,题型一,求椭圆的标准方程,课堂探究 素养提升,【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26;,方法技巧 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法:根据椭圆定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程. (2)待定系数法
3、:先判断焦点位置,设出标准方程形式,最后由条件确定待定系数即可.即“先定位,后定量”. 当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论,但要注意ab0这一条件. (3)当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2+ ny2=1(m0,n0,mn)的形式有两个优点:列出的方程组中分母不含字母;不用讨论焦点所在的位置,从而简化求解过程.,即时训练1:求适合下列条件的标准方程: (1)经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点;,(2)(2018玉溪高二月考)“mn0”是方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆的( ) (A)充分不必要条件 (B
4、)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件,题型二,与椭圆有关的轨迹问题,【例2】 已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程.,方法技巧 求解与椭圆有关的轨迹问题的方法 (1)定义法:利用平面几何知识将题目条件转化为点到两定点的距离之和为定值.由椭圆的定义求解a,b,c.注意所求轨迹是否是整个曲线,若不完整,则应对其中变量x或y进行限制. (2)相关点法(代入法):当所求动点随另一个动点(在已知曲线上)的变化而变化时,设所求动点为(x,y),另一动点为(x0,y0),用x,y表示x0,y0;再将(x0,y0)代入
5、已知方程,化简即得所求轨迹方程. (3)直接法:题设条件有明显等量关系或易推出等量关系,则可直接将等量关系坐标化,求出轨迹方程.,即时训练2:(2018宁波高二月考)一动圆过定点A(2,0),且与定圆x2+4x+y2-32=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程.,题型三,椭圆定义的应用,摇身一变1:若将本例中“F1PF2=90”变为“F1PF2=60”,求F1PF2的面积.,方法技巧 在解焦点三角形(椭圆上一点P和椭圆两个焦点F1,F2为顶点的三角形)的有关问题时,一般利用两个关系式: (1)由椭圆的定义可得|PF1|,|PF2|的关系式; (2)利用正、余弦定理或勾股定理可得|PF1|,|PF2|
6、的关系式,然后求解得|PF1|,|PF2|,有时也根据需要,把|PF1|+|PF2|,|PF1|-|PF2|,|PF1|PF2|等看成一个整体来处理.,(2)求PF1F2的面积.,答案:(1)A,解析:(2)如图所示,|MF2|=2|ON|=2, 所以|MF1|=2a-|MF2|=8-2=6. 答案:(2)6,题型四,易错辨析忽略焦点位置致误,错解:选A 纠错:仅考虑焦点在x轴上的情况,没有考虑焦点在y轴上的情况. 正解:2c=2,c=1,故有m-4=1或4-m=1, 所以m=5或m=3. 故选C.,学霸经验分享区,用待定系数法求椭圆方程的一般步骤 (1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;,(3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组; (4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求. 注意:用待定系数法求椭圆的方程时,要“先定型,再定量”,不能确定焦点的位置时,可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2+ny2=1(m0,n0,mn).,谢谢观赏！,
