1、3.3.2 函数的极值与导数,新知探求,课堂探究,新知探求 素养养成,知识点一,函数y=f(x)在区间a,b内的图象如图所示:,极值点与极值,问题1:y=f(x)在x1,x2,x3,x4处的导数等于多少? 答案:都等于零. 问题2:在x=x1和x=x2附近两侧导数f(x)的符号有什么特点? 答案:f(x)在x=x1左侧符号为正,右侧符号为负; 在x=x2左侧符号为负,右侧符号为正. 问题3:函数的极大值一定大于极小值吗?在区间内可导函数的极大值和极小值是否唯一? 答案:函数的极大值不一定大于极小值,如图所示极大值f(x1)小于极小值f(x4).函数的极大值和极小值并不唯一如f(x1),f(x3
2、)都是极大值;f(x2),f(x4)都是极小值. 问题4:导数等于零的点一定是极值点吗?导数为零是该点为极值点的什么条件? 答案:导数等于零的点不一定是极值点,如y=x3在x=0处的导数为零,但x=0不是极值点;极值点的导数一定为零,因此导数为零是该点为极值点的必要不充分条件.,梳理 1.函数的极小值与极小值点 若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值 ,且f(a)=0,而且在x=a附近的左侧 ,右侧 ,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值. 2.函数的极大值与极大值点 若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值
3、,且f(b)=0,而且在x=b附近的左侧 ,右侧 ,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.,都小,f(x)0,f(x)0,都大,f(x)0,f(x)0,知识点二,求定义域求f(x)求方程f(x)=0的根列表检验f(x)在f(x)=0的根的附近两侧的符号下结论. 名师点津:(1)对于可导函数f(x),f(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件. (2)f(x0)=0时,x0不一定是极值点.,函数极值的求法,题型一,利用导数求函数的极值,课堂探究 素养提升,【例1】 求函数f(x)=x2e-x的极值.,方法技巧 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定定义域,求
4、导函数f(x); (2)求解不等式f(x)0得增区间,求解f(x)0得减区间,再判断f(x) =0的解左右f(x)的正负得极值点; (3)求出极值.,答案:0 0 2 4,题型二,由极值求参数,【例2】 (2017马山县期末)设x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点. (1)求常数a,b; (2)判断x=-2,x=4是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.,解:(1)f(x)=3x2+2ax+b.可知x=-2和x=4是方程f(x)=0的两根, 则a=-3,b=-24. (2)x=-2是f(x)的极大值点,x=4是f(x)的极小值点.理由如下: f(x)=3(x
5、+2)(x-4),得 当x0; 当-24时,f(x)0,则x=4是f(x)的极小值点.,方法技巧 已知函数的极值点,求参数问题的解题步骤 (1)求函数的导数f(x); (2)由极值点的导数为0,列出方程(组),求解参数. (3)当求出参数多于一组解时,一定要验证是否满足题目的条件.,即时训练2:(2016四川卷)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照0,0.5),0.5,1),4,4.5分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.,(1)求直方图中a的值; (2)设该市有30万居民
6、,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由;,解:(1)由频率分布直方图,可知:月均用水量在0,0.5)的频率为0.080.5=0.04. 同理,在0.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.5各组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02. 由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5a+0.5a, 解得a=0.30. (2)由(1)知,100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布,可以估计该市30万居民中月均用水量不低于
7、3吨的人数为300 0000.12=36 000.,(3)估计居民月均用水量的中位数.,解:(3)设中位数为x吨. 因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.730.5, 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5, 所以2x2.5. 由0.50(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.,题型三,函数极值的综合应用,【例3】 a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根,有没有可能无实根?,解:令f(x)=x3-3x2,y=a.f(x)的定义域为
8、R. 方程x3-3x2-a=0的根的个数即x3-3x2=a根的个数, f(x)=x3-3x2与y=a交点个数. 由f(x)=3x2-6x=0.得x=0或x=2, 所以当x2时,f(x)0;当00或a-4时,原方程有一个根; 当a=0或a=-4时,原方程有两个不等实根; 当-4a0时,原方程有三个不等实根; 由图象可知,原方程不可能无实根.,方法技巧 利用求函数极值的方法确定方程解的个数时,要根据所求极值,画出函数的大致图象,运用数形结合的思想求解.,即时训练3:(2018郑州高二监测)已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如表:,f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示. (1)f(x)的极小值为 ;,答案:(1)0,(2)若函数y=f(x)-a有4个零点,则实数a的取值范围为 .,解析:(2)y=f(x)的图象如图所示: 若函数y=f(x)-a有4个零点, 则a的取值范围为1a2. 答案:(2)1,2),题型四,易错辨析忽视函数极值存在的条件致误,【例4】 (2018贵阳高二检测)已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值0,则m+n= .,纠错:导数等于零的点不一定是函数的极值点,需要判断f(x)在该点左右两侧的符号是否相反.,答案:11,学霸经验分享区,解决函数极值问题的一般流程,谢谢观赏！,
