1、3.3.1 函数的单调性与导数课标解读 1理解导数与函数的单调性的关系(易错点) 2掌握利用导数判断函数单调性的方法(重点) 3会用导数求函数的单调区间(重点、难点),1函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数yf(x),教材知识梳理,增,减,2.函数图像的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数yf(x)，在区间(a，b)上,陡峭,平缓,快,慢,知识点 导数与函数的单调性 探究1：观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导函数正负的关系,核心要点探究,(1)观察图像，完成下列填空 图中的函数yx的导函数y_，此函数的单调增区间为_； 图中的函数yx2的导函数y_，此函
2、数的单调增区间为_；单调减区间为(，0)； 图中的函数yx3的导函数y_，此函数的单调增区间为_；,(，),2x,(0，),3x2,1,(，),提示 根据(1)中的结果可以看出，函数的单调区间与导函数的正负有关，当导函数在某区间上大于0时，此时对应的函数为增函数，当导函数在某区间上小于0时，此时对应的函数为减函数,探究2：根据函数的单调性与导数之间的关系，完成以下问题 (1)在区间(a，b)上，如果f(x)0，则f(x)在该区间上单调递增，反过来也成立吗？ 提示 不一定成立例如，f(x)x3在R上为增函数，但f(0)0，即f(x)0是f(x)在该区间上单调递增的充分不必要条件 (2)利用导数求
3、函数单调区间时，能否忽视定义域？ 提示 首先需要确定函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集.,已知函数yxf(x)的图像如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下列四个图像中为yf(x)的大致图像的是,题型一 函数与导函数的图像,例1,【自主解答】 由题图知：当x0，函数yf(x)单调递增； 当10，f(x)1时，xf(x)0，f(x)0， yf(x)单调递增 【答案】 C,规律总结 研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素：对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内
4、小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致,1设f(x)是函数f(x)的导数，yf(x)的图像如图所示，则yf(x)的图像最有可能是,变式训练,解析 由导函数图像知： 当x(，1)时，f(x)0， 故f(x)在(，1)上单调递减； 当x(1，1)时，f(x)0， 故f(x)在(1，1)上单调递增； 当x(1，)时，f(x)0， 故f(x)在(1，)上单调递减故选B. 答案 B,求下列函数的单调区间： (1)f(x)3xx3； (2)f(x)3x22ln x. 【自主解答】 (1)f(x)33x23(x1)(x1)， 解法一 当f(x)0，即1x1时，函数f(x)3xx3单调递增；当f(x
5、)0，即x1或x1时，函数f(x)3xx3单调递减 所以函数f(x)3xx3的单调递增区间为(1，1)，单调递减区间为(，1)和(1，),题型二 利用导数求函数的单调区间,例2,解法二 令f(x)0，得x1或x1. 当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0； 当x1时，f(x)0. 所以函数f(x)3xx3的单调递增区间为(1，1)，单调递减区间为(，1)和(1，),规律总结 求函数yf(x)单调区间的步骤 (1)确定函数yf(x)的定义域 (2)求导数yf(x) (3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间,变式训练,题型三
6、 利用导数求参数的取值范围,例3,(2)函数求导得f(x)x2axa1(x1)x(a1)，令f(x)0得x1或xa1.因为函数在区间(1，4)内为减函数，所以当x(1，4)时，f(x)0，又因为函数在区间(6，)上为增函数，所以当x(6，)时， f(x)0，所以4a16，所以5a7，即实数a的范围为5，7 【答案】 (1)(3，27) (2)见解析,规律总结 1利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意 (2)先令f(x)0(或f(x)0)，求
7、出参数的取值范围后，再验证参数取“”时，f(x)是否满足题意 2恒成立问题的重要思路 (1)mf(x)恒成立mf(x)max. (2)mf(x)恒成立mf(x)min.,3若函数f(x)x3ax21在0，2内单调递减，求实数a的取值范围 解析 f(x)3x22axx(3x2a) 当a0时，f(x)0，故yf(x)在(，)上单调递增，与yf(x)在0，2内单调递减不符，舍去,对点训练,易错误区(九) 误用函数单调递增(减)的充要条件致误,例1,典题示例,设函数f(x)x3ax2在区间(1，)内是增函数，则实数a的取值范围是_ 解析 f(x)3x2a， f(x)在(1，)内是增函数， 3x2a0对x(1，)恒成立 即a3x2对x(1，)恒成立 又3x23，a3. 答案 3，),典题试解,
