1、第二课时 函数奇偶性的应用(习题课),目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,自我检测,1.(奇偶性与单调性)下列函数中既是偶函数又在(0,+)上是增函数的是( ) (A)y=x3 (B)y=|x|+1 (C)y=-x2+1 (D)y=2x+1,B,2.(奇偶性与单调性)已知偶函数在(-,0)上单调递增,则( ) (A)f(1)f(2) (B)f(1)f(2) (C)f(1)=f(2) (D)以上都有可能,A,3.(由奇偶性求函数值)已知函数f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=x2+ ,则f(-1)等于( ) (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2,4.(最值)若奇函数f(x)在
2、区间3,7上是增函数,在区间3,6上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)的值为 .,A,答案:-15,题型一,利用奇偶性求函数值,课堂探究素养提升,解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数, 所以f(0)=20+20+b=0,解得b=-1,所以当x0时,f(x)=2x+2x-1, 又因为f(x)为定义在R上的奇函数, 所以f(-1)=-f(1)=-(2+21-1)=-3.故选D.,【例1】 (2017江西自主招生)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时, f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于( ) (A)3 (B)1 (C)-1 (D)-3,误区警示 本题中
3、当x0时,函数解析式含参数b,因此需利用奇函数在原点处有定义,则f(0)=0的性质,求出b的值,然后根据奇函数性质求f(-1)的值.,即时训练1-1:设f(x)是(-,+)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0x 1时,f(x)=x,则f(7.5)= .,解析:由f(x+2)=-f(x),得f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5) =f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 答案:-0.5,【备用例1】 (2018浙江省慈溪联考)已知函数f(x),g(x)都是R上的奇函数,且F(x)=f(x
4、)+3g(x)+5.若F(a)=b,则F(-a)等于( ) (A)-b+10 (B)-b+5 (C)b+5 (D)b+10,解析:依题意有F(a)=f(a)+3g(a)+5=b, 所以f(a)+3g(a)=b-5. 所以F(-a)=f(-a)+3g(-a)+5=-f(a)+3g(a)+5=-(b-5)+5=-b+10.故选A.,题型二,利用奇偶性求函数f(x)的解析式,【例2】(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-2x-3,求f(x)的解析式;,(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=x3+x+1,求f(x)的解 析式.,方法技巧 利用函数奇偶性
5、求解析式时的注意事项: (1)求哪个区间上的解析式,就在哪个区间上取x. (2)然后要利用已知区间的解析式写出f(-x). (3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x). (4)要注意R上的奇函数定有f(0)=0. 若是求整个定义域内的解析式,各区间内解析式不一样时其结果一般为分段函数的形式,此点易忽略.,即时训练2-1:f(x)是定义在(-,+)上的偶函数,且x0时,f(x)=x3+x2,则当x0时,f(x)= .,解析:当x0,f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x3+x2. 因为f(-x)=f(x),所以f(x)=-x3+x2. 答案:-x3+x2,
6、【备用例2】 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x0时,f(x)=x2-2x. (1)求出函数f(x)在R上的解析式;,解:(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数, 则f(0)=0;,当x0,因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x), 所以f(x)=-f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2-2x,综上,f(x)=,(2)画出函数f(x)的图象.,解:(2)图象如图.,题型三,函数的奇偶性与单调性的综合,(2)解不等式f(t-1)+f(2t)0.,变式探究1:若本例将定义域(-1,1)改为R,其他条件不变,则不等式f(t-1)+ f(2t)0的解集是什么?,变式探究2:本
7、例中函数的值域是什么?,方法技巧 利用单调性和奇偶性解不等式的方法 (1)充分利用已知的条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式,再利用单调性脱掉“f ”求解. (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致,偶函数的单调性相反,列出不等式或不等式组,求解即可,同时要注意函数自身定义域对参数的影响.,即时训练3-1:设函数f(x)在R上是偶函数,且在区间(-,0)上递增,且f(2a2+a+1)f(2a2-2a+3),求a的取值范围.,题型四 抽象函数的奇偶性,【例4】 定义在R上的函数f(x)对任意实数a,b都有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)
8、 f(b)成立,且f(0)0. (1)求f(0)的值; (2)试判断f(x)的奇偶性.,解:(1)令a=b=0,则f(0)+f(0)=2f(0)f(0),即f(0)=f2(0). 因为f(0)0,所以f(0)=1. (2)令a=0,b=x,则f(x)+f(-x)=2f(0)f(x). 因为f(0)=1,所以f(x)+f(-x)=2f(x).所以f(x)=f(-x). 所以f(x)是R上的偶函数.,方法技巧 利用函数奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法,如本例中,恰当地给a,b赋值,是解题的关键.,即时训练4-1:已知函数f(x)的定义域为D=x|xR且x0,且满足对于任意的x1,x2D都有
9、f(x1x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)及f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明.,解:(1)令x1=x2=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,令x1=x2=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=0,所以f(-1)=0. (2)f(x)是偶函数.令x1=x,x2=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1),即f(-x)=f(x),故对任意的x0都有f(-x)=f(x).所以f(x)是偶函数.,【备用例3】 若函数f(x)的定义域是R,且对任意x,yR,都有f(x+y)=f(x)+ f(y)成立. (1)试判断f(x)的奇偶性;,解:(1)在f(x+y)=f(x)+f(y)中, 令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0), 所以f(0)=0. 再令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x), 即f(x)+f(-x)=0, 所以f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.,(2)若f(8)=4,求f(- )的值.,谢谢观赏！,
