1、1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,【情境导学】 导入一 函数是描述事物运动变化规律的数学模型.如果了解了函数的变化规律,那么也就把握了相应事物的变化规律.因此研究函数的性质是非常重要的.日常生活中,我们有过这样的体验:从阶梯教室前向后走,逐步上升,从阶梯教室后向前走,逐步下降.很多函数也具有类似性质,这就是我们要研究的函数的基本性质函数的单调性.,导入二 画出函数f(x)=x,f(x)=x2和f(x)= 的图象,如图所示:从图象上不难看出函数f(x)=x从左到右是上升的;函数f(x)=x2在y轴左侧
2、,从左到右是下降的,而在y轴右侧,从左到右是上升的;函数f(x)= 在y轴左侧,从左到右是下降的,而在y轴右侧,从左到右也是下降的.,想一想 导入二中f(x)随x增大是如何变化的?,(f(x)=x中f(x)随x增大而增大,f(x)=x2先随x增大而减小,再随x增大而增大.f(x)= 中f(x)在x(-,0)和(0,+)上都是随x增大而减小),知识探究,1.增函数与减函数的相关概念,2.函数的单调性及单调区间,增函数或减函数,单调性,区间D,探究1:函数单调性定义中的x1,x2有何限制条件?,答案:(1)任意性,即x1,x2是在某一区间上的任意两个值,不能以特殊值代换; (2)有大小,即确定的两
3、个值x1,x2必须区分大小,一般令x1x2; (3)同属一个单调区间.,探究2:函数的单调区间与函数定义域有何关系?当一个函数有多个单调区间时,如何写函数的单调区间.,答案:单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能用“”,而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接.,【拓展延伸】 判断函数单调性的常用方法 (1)定义法:根据增、减函数的定义分为四步进行. 取值:任取x1,x2D,且x10.,作差(或商)变形:y2-y1=f(x2)-f(x1)=(或 = =),向有利于判断差的符号(或商与1的大小)的方向变形. 判断:判断y2-y1(或 )是否大于0(或大于1),当不确定时,要分类讨论. 下
4、结论:根据定义得出结论.,(2)图象法:画出函数的图象,根据图象的上升或下降趋势判断函数的单 调性. (3)直接法:对于我们所熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,可直接写出它们的单调区间.,(4)利用结论(以下结论在所指的两个函数的公共定义域内成立) 增函数+常数=增函数, 减函数+常数=减函数, 增函数+增函数=增函数, 减函数+减函数=减函数, 增函数-减函数=增函数, 减函数-增函数=减函数.,y=f(x)与y=cf(x)(c为常数,c0),当c0时单调性相同,当c0时单调性相反. 若f(x)0,则f(x)与 单调性相反. 若f(x)0,则f(x)与 单调性相同.,自我检测,
5、1.(单调性的定义)已知函数f(x)的定义域为D,在区间M上单调递增,则( ) (A)M=D (B)M D (C)MD (D)DM,C,2.(单调性的定义)(2018昆明高一检测)下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( ) (A)y=|x| (B)y=3-x (C)y= (D)y=-x2+4,A,3.(单调性的应用)若f(x)=ax+1在R上单调递减,则a的取值范围为( ) (A)(0,+) (B)(-,0) (C)1,+) (D)(-,1 4.(单调性的应用)已知f(x)为R上的减函数,则满足f(| |)f(1)的实数x的取值范围是( ) (A)(-1,1) (B)(0,1) (C)(
6、-1,0)(0,1) (D)(-,-1)(1,+),B,C,5.(单调性的应用)如图所示为函数y=f(x),x-4,7的图象,则函数f(x)的单调递增区间是 .,答案:-1.5,3,5,6,题型一,判断或证明函数的单调性,课堂探究素养提升,(2)求证:函数f(x)= 在(1,+)上是增函数.,变式探究:函数f(x)= 在(-,0)上的单调性如何?怎样证明.,方法技巧 (1)比较f(x1)与f(x2)的大小常用的方法有“作差,作商”两种,其中差与0比较大小,而商与1比较大小. (2)常用的变形技巧有:因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后常通过因式分解变形. 通分.当原函数含有分式时,作差后往
7、往进行通分,然后对分子进行因式分解. 配方.作差后可以运用配方判断差的符号. 分子或分母有理化.当函数中含有根式时,作差后主要考虑分子或分母有理化.,即时训练1-1:(2018海南中学高一期中)试用函数单调性的定义证明:f(x)= 在(1,+)上是减函数.,【备用例1】证明:函数f(x)=x2- 在区间(0,+)上是增函数.,题型二,求函数的单调区间,【例2】 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3|x|;,(2)f(x)=|x2+2x-3|.,解:(2)令g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.先作出g(x)的图象,保留其在x轴及x轴上方部分,把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f
8、(x)=|x2+2x-3|的图象,如图所示. 由图象易得,函数的递增区间是-3,-1,1,+); 函数的递减区间是(-,-3,-1,1.,方法技巧 判断函数单调区间时,若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等,可根据其单调性写出函数的单调区间,若函数不是上述函数且函数图象容易作出,可作出其图象,根据图象写出函数单调区间.,即时训练2-1:作出函数f(x)= 的图象,并指出函数的单调区间.,解:f(x)= 的图象如图所示.由图象可知,函数的单调减区间为(-,1,(1,2;单调递增区间为(2,+).,【备用例2】 求下列函数的单调区间. (1)f(x)= (x-2,4);,(2)y= .
9、,题型三,函数单调性的应用,【例3】 已知函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3. (1)函数f(x)在区间(-,3上是增函数,则实数a的取值范围是 ; (2)函数f(x)的单调递增区间是(-,3,则实数a的值为 .,解析:f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3. 因此函数的单调递增区间为(-,-a-1. (1)由f(x)在(-,3上是增函数知3-a-1, 即a-4. (2)由题意得-a-1=3,a=-4. 答案:(1)(-,-4 (2)-4,变式探究:若本题改为函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(1,2)上是单调函数,则a的取值范围是 .,答
10、案:(-,-3-2,+),误区警示 函数的单调区间与函数在某一区间上单调是两个不同的概念,其中后者的区间是函数单调区间的子集.,即时训练3-1:函数f(x)=x2-2mx-3在区间1,2上单调,则m的取值范围是 .,解析:二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置,函数f(x)= x2-2mx-3的对称轴为x=m,函数在区间1,2上单调,则m1或m2. 答案:(-,12,+),【备用例3】 已知函数f(x)= 是(-,+)上的减函数,则实数a的取值范围是 .,题型四 易错辨析忽视函数定义域致误,【例4】 已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)f(2a-1),则实数a的取值范围为 .,纠错:忽视了函数定义域.,即时训练4-1:已知f(x)是定义在区间-1,1上的增函数,且f(x-2)f(1-x),则x的取值范围是 .,谢谢观赏！,
