1、1.1.3 集合的基本运算 第一课时 并集、交集,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,【情境导学】 导入一 两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加减法运算,如果把集合与实数相类比,我们会想两个集合是否也可以进行“加减”运算呢?本节就来研究这个问题. 导入二 A=a,b,c,d,e,B=c,d,e,f. 想一想1:把所有属于A,属于B的元素组合成一个新的集合D是什么? (由集合中元素互异性知D=a,b,c,d,e,f) 想一想2:把A,B公共元素组成一个新的集合E是什么? (E=c,d,e),1.并集 (1)定义:一般地,由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合,叫作A与B的并
2、集. (2)符号表示:A与B的并集记作 ,即AB=x|xA,或xB. (3)图示,用Venn图表示AB,如图所示.,或,知识探究,AB,探究1:AB就是由集合A和集合B的所有元素组成吗? 答案:不一定,由集合元素的互异性知集合A和集合B的公共元素只能出现一次.,3.交集 (1)定义:一般地,由属于集合A且属于集合B的 组成的集合,叫作A与B的交集. (2)符号表示:A与B的交集记作 ,即AB=x|xA,且xB. (3)图示:用Venn图表示AB,如图所示.,所有元素,AB,【拓展延伸】 集合中元素个数的计算 若用card(A)表示集合A的元素个数,则有card(AB)=card(A)+card
3、(B)-card(AB). 事实上,由图1可知,AB的元素在card(A)和card(B)中均计数一次,因而在card(A) +card(B)中计数两次,而在card(AB)中只能计数一次,从而有card(AB)=card(A) +card(B)-card(AB). 类似地,有card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC).它可以由图2来解释,这个结论也称为容斥原理.,1.(并集)已知集合A=x|x-3,B=x|-5x2,则AB等于( ) (A)x|x-5 (B)x|x2 (C)x|-3x2 (D)x
4、|-5x2,A,自我检测,解析:结合数轴(图略)得AB=x|x-5.,2.(交集)若集合M=-1,1,N=-2,1,0,则MN等于( ) (A)0,-1 (B)1 (C)0 (D)-1,1,B,3.(并集)满足条件0,1A=0,1的所有集合A的个数是( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个,D,解析:MN=1,故选B.,4.(交集)已知A=x|x0,则AB等于( ) (A)x|x0 (B)x|x3,C,答案:A B,5.(集合间的关系及运算)若AB则AB= ,AB= .,题型一,集合的并集、交集的简单运算,【例1】 (1)(2016全国卷)设集合A=1,3,5,7,B=x|2x5
5、,则AB等于( ) (A)1,3 (B)3,5 (C)5,7 (D)1,7,课堂探究素养提升,(1)解析:集合A与集合B的公共元素有3,5,故AB=3,5,选B.,(2)已知A=x|x-2,或x5,B=x|1x7,求AB,AB.,(2)解:将x-2或x5及11. 据交集定义,图中公共阴影部分即为AB, 所以AB=x|5x7.,求列举法表示的两个集合的并集或交集运算,要抓住两个集合中的公共元素,然后根据定义用列举法写出运算结果;若两个集合用描述法表示,尤其是不等式对应集合的交集与并集的运算,要借助Venn图,数轴表示,借助图形的直观性求运算结果.,题后反思,即时训练1-1:(1)设集合M=x|-
6、3x2,N=x|1x3,则MN等于( ) (A)x|1x2 (B)x|1x2 (C)x|2x3 (D)x|2x3,解析:(1)因为M=x|-3x2且N=x|1x3.所以MN=x|1x2.故选A.,(2)已知集合A=1,2,3,B=x|(x+1)(x-2)0,xZ,则AB等于( ) (A)1 (B)1,2 (C)0,1,2,3 (D)-1,0,1,2,3,解析:(2)B=x|(x+1)(x-2)0,xZ=x|-1x2,xZ=0,1, 又A=1,2,3,所以AB=0,1,2,3. 故选C.,【备用例1】 满足MN=a,b的集合M,N共有( ) (A)7组 (B)8组 (C)9组 (D)10组,解析
7、:满足MN=a,b的集合M,N有: M= ,N=a,b; M=a,N=b; M=a,N=a,b; M=b,N=a; M=b,N=a,b; M=a,b,N= ; M=a,b,N=a; M=a,b,N=b; M=a,b,N=a,b,共有9组.故选C.,题型二,与参数有关的交集、并集问题,【例2】 (1)已知集合S=x|x5或x-1,集合T=x|axa+8,若ST=R,求a的取值范围;,误区警示 求解含参数的连续数集之间的交、并集运算,应根据运算特征,利用数轴求解.求解此类问题时,应注意集合端点值的取舍,本题(1)的易错之处是认为a+85且a-1.事实上,当a=-1时,集合T=x|-1x7,此时S
8、T=x|xR且x-1R,同理当a+8=5即a=-3时,STR.而(2)的易错之处是忽视A= 的特殊情况.,即时训练2-1:已知集合A=x|x2+4x=0,集合B=x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,其中xR,若AB=B,求实数a的取值范围.,(2)当B=0或B=-4时,方程有两个相等实根, 所以=4(a+1)2-4(a2-1)=0,得a=-1.代入验证,B=0满足题意.,【备用例2】 已知集合A=x|x2+px+q=0,B=x|x2-px-2q=0,且AB=-1,求AB.,解:因为AB=-1, 所以-1A,-1B, 所以1-p+q=0,1+p-2q=0, 解得p=3,q=2 所以A=x|x
9、2+3x+2=0=-1,-2, B=x|x2-3x-4=0=-1,4, 所以AB=-1,-2,4.,题型三,并集、交集性质的应用,【例3】 已知A=x|x2-3x+2=0,B=x|x2-ax+a-1=0,若AB=A,求实数a的值.,变式探究1:若本例题中将AB=A,改为AB=B,其他条件不变,求实数a的值.,解:当AB=B时,则BA,解题过程同本例的过程(此处略).,变式探究2:若本例题中将AB=A,改为AB=A,其他条件不变,求实数a的值.,方法技巧 求解“AB=B或AB=B”类问题的思路:利用“AB=BBA, AB=BAB”转化为集合的包含关系问题.,即时训练3-1:设A=x|x2-2x=
10、0,B=x|x2-2ax+a2-a=0. (1)若AB=B,求a的取值范围; (2)若AB=B,求a的值.,(2)因为AB=B,所以AB,所以B=0,2,所以a=1.,题型四,易错辨析概念理解错误致误,纠错:对集合的代表元素理解错误,第(1)题中代表元素为(x,y),对应集合为点集;,(2)已知集合A=y|y=x2-2x-3,xR,B=y|y=-x2+2x+13,xR,求AB.,纠错:第(2)题中代表元素为y,表示的是y的取值范围,对应集合为数集. 正解:(2)由题意可知集合A,B分别是二次函数y=x2-2x-3和y=-x2+2x+13的y的取值集合. A=y|y=(x-1)2-4,xR=y|y-4,yR, B=y|y=-(x-1)2+14,xR=y|y14,yR. 因此,AB=y|-4y14,yR.,解:(1)两个集合表示的都是y的取值范围, 因为A=y|y=x2-2x+3,xR=y|y2; B=y|y=-x2+2x+10,xR=y|y11; 所以AB=R.,谢谢观赏！,
