1、重点中学与你有约,例1.已知方程 的两根为 ，不解方程，求：,解题技巧,由根与系数的关系得,例1.已知方程 的两根为 ，不解方程，求：,举一反三,思路分析:先根据根与系数的关系得到+=3，=1，利用代数式变形得到包含+和的式子，然后利用整体代入的方法计算,已知方程x2+3x1=0的两根实数根为，不解方程，求下列各式的值 （1）2+2；（2）3+3； （3） ；（4）（1）（1）,失误防范,1.一元二次方程根与系数的关系： 如果x1,x2是一元一次方程ax2+bx+c=0的两根，那么,2.一些有用的结论： 在求值时一些常见的变形：,例2.若关于x的一元二次方程 的两实根的平方和为2，求m的值.,
2、重点中学与你有约,解题技巧,设方程的两实根为x1,x2，则,例2.若关于x的一元二次方程 的两实根的平方和为2，求m的值.,当m=3时，b2-4ac=16-280，方程无实根，舍去,当m=-3时，b2-4ac=4-4=0，故m的值是-3.,举一反三,思路分析:（1）根据题意可知一元二次方程，必须满足下列条件：二次项系数不为零；在有实数根下必须满足=b24ac0，代入数值解不等式即可； （2）由题意设方程x2+（2k+1）x+k22=0两根为x1，x2，得x1+x2=（2k+1），x1x2=k22，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k值,已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2
3、2=0有实根 （1）求k的取值范围； （2）若方程的两实根的平方和等于11，求k的值,失误防范,1.一元二次方程根与系数的关系： 如果x1,x2是一元一次方程ax2+bx+c=0的两根，那么,2.两根平方和的应用：利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题,例3.设x1,x2是一元二次方程 的两个实根，且 则a=_.,重点中学与你有约,解题技巧,因为x2是一元二次方程的根,因为x1,x2是一元二次方程的两个实根,所以-6+a=4,得a=10，故答案为10.,例3.设x1,x2是一元二次方程 的两个实根，且 则a=_.,举一反三,思路分析:由根与系数的关系得到x
4、1x2=2014，x2是一元二次方程x23x2014=0的根，得出x223x2=2014，整体代入ax1（x224x22014）=1，进一步求得答案即可,设x1，x2是一元二次方程x23x2014=0的两个不相等的实根，且ax1（x224x22014）=1，则a=_,失误防范,1.一元二次方程根与系数的关系： 如果x1,x2是一元一次方程ax2+bx+c=0的两根，那么,2.关于两根非对称式的值： 关于方程两根非对称式的代数式的值一般要同时结合方程根的定义和根与系数的关系来求解,例4.已知x1,x2是一元二次方程 的两个实根，(1)是否存在实数a ,使 成立？若存在求出a的值，若不存在，请说明
5、理由；(2)求使为负整数的实数a的整数值.,重点中学与你有约,解题技巧,(1)根据题意得,由根与系数的关系得,经检验a=24是上面方程的解. 所以存在实数a,使式子成立，a=24.,例4.已知x1,x2是一元二次方程 的两个实根，(1)是否存在实数a ,使 成立？若存在求出a的值，若不存在，请说明理由；(2)求使为负整数的实数a的整数值.,由,(2) 为负数，则6-a为-1或-2或-3或-6,解得a=7或8或9或12,举一反三,思路分析:（1）假设存在实数k，使得x1=3x2，根据根的判别式可得出=16k，进而可得出k0以及x1、x2的值，再根据x1=3x2即可得出关于k的分式方程，解方程并检
6、验后即可得出结论； （2）由根与系数的关系，代入数据即可找出k的值，再由分母不能为0即可得出结论,已知x1，x2是一元二次方程4kx24kx+k+1=0的两个实根 （1）是否存在实数k，使得x1=3x2成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由 （2）求使 的值为整数的实数k的整数值,失误防范,1.一元二次方程根与系数的关系： 如果x1,x2是一元一次方程ax2+bx+c=0的两根，那么,2.求含未知数的一元二次方程中未知数的值： 首先要确定判别式的情况； 然后再根据根与系数的关系以及求根公式找出关于未知数的方程是解题的关键,例5.关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m2=0. （1）
7、证明：方程总有两个不相等的实数根； （2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|2，求m的值及方程的根.,重点中学与你有约,解题技巧,（1）证明：=-（m-3）24m2 =5m26m+9=5（m ）2+ ， 无论m取何值5（m ）20， 5（m ）2+ 0， 原方程总有两个不相等的实数根.,5.关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m2=0. （1）证明：方程总有两个不相等的实数根； （2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|2，求m的值及方程的根.,解题技巧,（2）x1，x2是原方程的两根， x1+x2=m3，x1x2=m2， |x1|=|x2|2，|
8、x2|x1|=2， 两边平方得，x12+ x22-2| x1x2|=4， 即（x1+x2）2-2 x1 x1-2| x1x2|=4， （m3）2-2（m2）-2| m2|=4， 即（m3）2=4，解得m=5或m=1. 当m=5时，方程为x22x25=0， 解得x1=1+ ，x2=1- ； 当m=1时，方程为x2+2x1=0， 解得x1=1+ ，x2=1 .,已知关于x的一元二次方程x2+（m2）xm1=0 （1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程的两个实数根为x1、x2，满足x12+x22=41，求m的值,举一反三,思路分析: （1）由于无论m取何值时，方程总
9、有两个不相等的实数根，所以证明判别式是正数即可； （2）利用根与系数的关系可以得到如果把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可求解,答案：（1）=（m2）2+4（m+1）=m24m+4+4m+4=m2+80， 无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）这个方程的两个实数根为x1、x2， x1+x2=（m2），x1x2=m1， 而x12+x22=41， （x1+x2）22x1x2=41， （m2）2+2m+2=41，m24m+4+2m39=0， m22m35=0， m=5或7,失误防范,1.根的判别式： 一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac有如下关系：
10、 （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 2.一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1 , x2 ,那么x1+x2= x1x2 =,失误防范,3. 根与系数关系使用的前提是： （1）是一元二次方程，即a0； （2）方程为一般形式。即形如：ax2+bx+c=0； （3）判别式大于等于零，即b2-4ac0.,例6.,重点中学与你有约,解题技巧,（1）由已知条件可知， a,b,是方程 的两个相异实根.,解题技巧,举一反三,阅读下面的材料： 如果关于x的方程ax2+bx+c=0（a0）有两个实数根x1，x2
11、，则综合得：若方程ax2+bx+c=0（a0）有两个实数根x1，x2，则有x1+x2= ，x1x2 = 请利用这一结论解决问题： （1）方程x2+bx+c=0的两根为1和3，求b与c的值； （2）设方程2x23x+1=0的两根为x1，x2，求 以及2x12+2x22的值,举一反三,思路分析:（1）根据两根之和等于b，两根之积等于c求解； （2）应把所求的代数式整理为和根与系数的关系有关的式子求解,失误防范,1.一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1 , x2 ,那么x1+x2= x1x2 = 说明：（1）定理成立的条件0； （2）注意公式中x1+x2=
12、的负号与b的符号的区别,失误防范,2. 根与系数关系应用： 直接运用根与系数的关系（验根）； 已知方程的一个根求另一个根及未知数； 已知两根求作一元二次方程； 求关于两根的对称式或代数式的值； 解简单的应用问题. 3. 解决此类型题目的技巧: 本题解题时关键是读懂题意，理解已知中叙述的方程的解与方程的根之间的关系把所求的代数式整理成用两根的和与两根的积表示的形式,例7.已知关于x的一元二次方程x2-2x-a2-a=0（a0）. （1）证明：这个方程的一个根比2大，另一个根比2小； （2）若对于a=1,2，2004，相应的一元二次方程的两个根分别为1，1，2，2，2004，2004，求 的值,重
13、点中学与你有约,解题技巧,（1）设方程的两根为x1，x2， 由根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=a2a，a0. （x12）（x22）=x1x22（x1+x2）+4=a2a4+4=a2a0. x12与x22异号， 即x1与x2中一个比2大，一个比2小 （2）当a=1,2，2004时对应的方程分别为 x2-2x-2=0, x2-2x-6=0, x2-2x-20042005=0, 由一元二次方程根与系数的关系，有 1+1=2，11=2，2+2=2，22=6，2004+2004=2，20042004=20042005，,解题技巧,已知n为正整数，二次方程x2+（2n+1）x+n2=0的两根为n
14、，n，求下式的值：,举一反三,举一反三,思路分析: 根据根与系数关系得n+n和nn的值；把分母展开代值找规律计算,答案：由韦达定理，有n+n=（2n+1），nn=n2 于是，对正整数n3，有,失误防范,1.探索规律型问题： 近年来，中考试题中频频出现探索规律型问题，即在一定的条件状态下，探索有关数学对象所具有的规律性或不变性。这类题主要考查学生的合情推理能力和探索能力。一般来说，规律性问题有下列几类: 数字中找规律； 图形中找规律； 数字与图形相结合中找规律； 动态中找不变的规律.,失误防范,2.解答探索规律型问题技巧： 解答探索规律型问题，必须在认真审题的基础上，通过归纳、想象、猜想来进行规律的探索.在探索和递推时，往往是从少到多，从简单到复杂，或从特殊、简单的情况入手，通过比较和分析，找出每次变化过程中具有的规律性的东西，找到解题方法.,
