1、例1.方程 (1)m取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解; (2)m取何值时是一元一次方程.,重点中学与你有约,解题技巧,(1)若方程是一元二次方程，则m2+1=2，m=1 显然m=1时m+1=0不合题意舍去,故m=1符合题意 当m=1时，原方程可化简为2x22x1=0，,(2)当m+1=0时,解得m=1,此时方程为4x1=0.符合题意,例1.方程 (1)m取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解; (2)m取何值时是一元一次方程.,当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为2x1=0，,当m=1或m=0时，方程为一元一次方程,举一反三,思路分析: 一元二次方程就是含有一个未知数，并且最高项
2、的次数是2的整式方程，依据定义即可判断,当m取何值时， 是一元二次方程，并求此方程的根,失误防范,1.一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且最高项的次数是2的整式方程叫做一元二次方程,2.一元二次方程满足的条件： （1）二次项系数不为0； （2）最高项次数为2.,例2.已知x1=-1是方程 的一个根，求m的值及方程的另一根x2,重点中学与你有约,解题技巧,将x=1代入方程x2+mx5=0中，得：1-m5=0， 解得：m=-4.,当m=-4时，原方程为x24x5=（x+1）（x5）=0， 解得：x1=1，x2=5,m=-4,方程的另一根为5,例2.已知x1=-1是方程 的一个根，求m的值及方
3、程的另一根x2,举一反三,思路分析:将x=1代入原方程求出m值，再将m得值代入原方程利用十字相乘法即可求出方程的另一根,已知关于x的一元二次方程x2mx3=0 若x=1是方程的一个根求m的值和方程的另一根,失误防范,一元二次方程的解法-因式分解法： 1.步骤： （1）把方程的一侧的数(包括未知数)，通过移动使其值化成0； （2）把方分类体系程的另一侧各项化成若干因式的乘积； （3）然后分别令各因式等于0.,失误防范,一元二次方程的解法-因式分解法： 2.分解因式技巧掌握： （1） 等式左边必须是多项式； （2）分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； （3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都
4、必须低于原来多项式的次数； （4）分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止.,例3.解下列方程：,重点中学与你有约,解题技巧,(1)由原方程，得(1-x)2=3，,(2)移项，得4(3x+1)2 -25(x-2)2=0， 将方程的左边因式分解，得 2(3x+1)-5(x-2)2(3x+1)+5(x-2)=0 即(x+12)(11x-8)=0则x+12=0或11x-8=0 解得,(3)两边都加上36，得x2 -12x+36=9964+36， 即(x-6) 2=10000则x-6=100或x-6=-100 解得,(4)对于方程,举一反三,思路分析: （1）利用配方法得到（x+2）2=6，然
5、后利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）利用配方法解方程,用恰当的方法解下列方程： （1）x2+4x=2； （2）4（x3）225（x2）2=0； （3）（2x+1）2+4（2x+1）+4=0.,失误防范,1.一元二次方程的解法： 因式分解法，配方法，直接开平方法，公式法等.,2.配方法： 用配方法的小口诀： 二次系数化为一，分开常数未知数，一次系数一半方，两边加上最相当 3.公式法： 首先要通过=b-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当=b-4ac0时 x有两个不相同的实数根 当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式： 来求得
6、方程的根,例4.阅读材料：为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y，则(x2-1)2=y2，原方程化为 y2-5y+4=0, 解得y1=1，y2=4 当y=1时，x21=1x2=2x= ； 当y=4时，x21=4，x2=5，x= 原方程的解为x1= ，x2= ，x3= ，x4= 解答问题： （1）填空：在由原方程得到方程的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想 （2）解方程：x4x26=0,重点中学与你有约,解题技巧,（1） 换元 转化 ； （2）设y=x2，原方程可化为y2y6=0， 因式分解，得(y-3)(y+2)=0
7、, 解得y1=3，y2=2， 当y=3时，x2=3，x= . 当y=-2时，x2=-2，不合题意，故舍去. 原方程的解为x1= ，x2= .,举一反三,阅读材料：解答问题 为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y，则(x2-1)2=y2，原方程化为 y2-5y+4=0, 解得y1=1，y2=4 当y=1时，x21=1x2=2x= ； 当y=4时，x21=4，x2=5，x= 原方程的解为x1= ，x2= ，x3= ，x4= 上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程 （x2x）24（x2x）12=0,举一反三,思路分析: 先把x2x看作一
8、个整体，设x2x=y，代入得到新方程y24y12=0，利用求根公式可以求解,答案：设x2x=y，那么原方程可化为y24y12=0 解得y1=6，y2=2 当y=6时，x2x=6即x2x6=0 x1=3，x2=2 当y=2时，x2x=2即x2x+2=0 =（1）24120 方程无实数解 原方程的解为：x1=3，x2=2,失误防范,1.换元法概念： 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。,失误防范,2.换元法经验： 换元法，可以运用于因
9、式分解、解方程或方程组等方面。换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，现举例说明. 3.换元法形式： 换元法主要有双换元、整体换元、均值换元、倒数换元几种形式.,失误防范,4.等价转化思想： 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题.等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧.,例5.已知关于x的一元二次方程x2+2x+
10、2k-4=0有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围； （2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值.,重点中学与你有约,解题技巧,（1）b2-4ac=44（2k4）=20-8k0. 方程有两个不相等的实数根, 20-8k0， k（2）由（1）知k k为正整数， k=l或k=2. 利用求根公式表示出方程的解为 方程的根为整数， 5-2k为完全平方根. 当k=l时，5-2k=3不是完全平方根，舍去； 当k=2时，5-2k=1是完全平方根，符合题意. k=2,已知关于x的一元二次方程x26x+k+3=0有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围； （2）若k为大于3的整数，且该方程的根
11、都是整数，求k的值,举一反三,思路分析: （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围； （2）找出k范围中的整数解确定出k的值，再将k的值代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的k的值,答案：（1）=（6）24（k+3）=364k12=4k+24， 原方程有两个不相等的实数根， 4k+240解得 k6； （2）k6且k为大于3的整数，k=4或5 当k=4时，方程x26x+7=0的根不是整数 k=4不符合题意； 当k=5时，方程x26x+8=0根为x1=2，x2=4均为整数 k=5符合题意 综上所述，k的值是5,失误
12、防范,1.根的判别式： 一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac有如下关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根,失误防范,2.公式法解一元二次方程： 一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子 就得到方程的根(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。) （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求
13、根公式解一元二次方程的方法叫公式法 公式的理解：由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根,例6.已知一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0. （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当ABC是等腰三角形时，求k的值,重点中学与你有约,解题技巧,（1）证明：一元二次方程为x2-(2k+1)x+k2+k=0.-（2k+1）24（k2+k）=10， 此方程有两个不相等的实数根. （2）ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，由（1）知AB AC， 第三边BC的长为5，且ABC是等腰三角形， 必然有AB
14、=5或AC=5，即x=5是原方程的一个解， 将x=5代入方程x2（2k+1）x+k2+k=0， 255（2k+1）+k2+k=0，解得k=4或k=5. 当k=4时，原方程x29x+20=0，x1=5，x2=4， 以5,5,4为边长能构成等腰三角形； 当k=5时，原方程x211x+30=0，x1=5，x2=6， 以5,5,6为边长能构成等腰三角形. k的值为4或5,举一反三,已知：关于x的一元二次方程kx2（4k+1）x+3k+3=0（k是正整数） （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）求方程的较大根,举一反三,思路分析: （1）根据一元二次方程的定义得k0，再计算判别式得到=（2k1）
15、2，然后根据非负数的性质即k的取值得到0，则可根据判别式的意义得到结论； （2）根据求根公式求出方程的根，再根据k是正整数即可得出结论,答案：（1）证明：k0， =（4k+1）24k（3k+3）=4k24k+1=（2k1）2， k为不等于0的整数， （2k1）20， 0， 方程有两个不相等的实数根 （2）=（4k+1）24k（3k+3）=（2k1）2，x=3或x=1+ ， k是正整数， 1，1+ 3，方程的较大根是3,失误防范,1.公式法解一元二次方程 适用范围：可解全部一元二次方程 首先，要通过=b2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 当=b2-4ac0时 x有两个不相同的实数根
16、. 当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式法来求得方程的根,失误防范,2.用公式法解一元二次方程的一般步骤： (1)把方程化成一般形式，并写出a,b,c的值; (2)求出 b2-4ac的值; (3)代入求根公式; (4)写出方程的解.,例7.设a,b,c是ABC的三边长，关于x的方程x2+ x+2ca=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为0. （1）求证：ABC为等边三角形； （2）若a，b为方程x2+mx3m=0的两根，求m的值,重点中学与你有约,解题技巧,（1）证明：方程x2+ x+2ca=0有两个相等的实数根， （ ）24（2ca）=0， b+a
17、=2c， 方程3cx+2b=2a的根为0， b=a，b=a=c， ABC为等边三角形. （2）a，b为方程 x2+mx3m=0的两根， 又由（1）a=b， m24（3m）=0， m1=0，m2=12 a，b，c是ABC的三边长， a0， 经检验m=12符合题意，m=12,已知关于x的一元二次方程（a+c）x22bx+（ac）=0，其中a，b，c分別为ABC三边长 （1）若方程有两个相等的实数根试判断ABC的形状，并说明理由； （2）若ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根,举一反三,举一反三,思路分析: （1）根据方程有两个相等的实数根得出=0，即可得出a2=b2+c2，根据勾股定理的逆
18、定理判断即可； （2）根据等边进行得出a=b=c，代入方程化简，即可求出方程的解,答案： （1）ABC是直角三角形， 理由是：关于x的一元二次方程（a+c）x22bx+（ac）=0有两个相等的实数根， =0， 即（2b）24（a+c）（ac）=0， a2=b2+c2， ABC是直角三角形； （2）ABC是等边三角形， a=b=c， 方程（a+c）x22bx+（ac）=0可整理为2ax22ax=0， x2x=0， 解得：x1=0，x2=1,失误防范,1.一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根. 2. 等边三角形的判定： 三边相等的三角形是等边三角形,
