1、1限时集训（九）三角恒等变换与解三角形基础过关1.已知 ABC的三个内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且 c2=4absin2C.(1)求 sin Asin B的值;(2)若 A= ,a=3,求 c的值 .2.在 ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知 bc,a=6,b=5,且 ABC的面积为 9.(1)求 cos C的值;(2)求 c及 sin B的值 .3.在 ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2A=- ,c= ,sin A= sin C,且 A为锐角 .(1)求 sin A与 a的值;(2)求 b的值及 ABC的面积 .4.已
2、知在 ABC中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且满足 = .(1)求 B;(2)若 b= ,求 ABC的面积 S的最大值 .能力提升5.已知锐角 ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且 a= , = .(1)求角 A的大小;(2)求 b+c的取值范围 .26.已知在 ABC中, BC边上一点 D满足 AB AD,且 AD= DC.(1)若 BD=2DC=2,求 AC的值;(2)若 AB=AC,求 sin B.3限时集训(九)基础过关1.解:(1) c 2=4absin2C, 由正弦定理得,sin 2C=4sin Asin Bsin2C,又 ABC中,sin C0,
3、sin Asin B= .(2)当 A= 时,sin A= ,又 sin Asin B= , sin B= .A+Bc,所以 C ,所以 cos C= .(2)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=62+52-265 =13,所以 c= .又因为 b=5,sin C= ,所以由正弦定理得 sin B= = .3.解:(1)因为 c= ,sin A= sin C,所以由正弦定理得 = ,解得 a=3 .因为 cos 2A=2cos2A-1=- ,又因为 A为锐角,所以 cos A= ,所以 sin A= .(2)因为 b2+c2-a2=2bcos A,所以 b2-2b-15=0,解得
4、 b=5或 b=-3(舍去),所以 S ABC= bcsin A= 5 = .4.解:(1)因为 A+B+C=,所以 sin(A+B)=sin( -C)=sin C,所以 = = ,由正弦定理得 = ,即 a2+c2-b2=ac,所以由余弦定理得 cos B= = ,又因为 B(0,),所以 B= .(2)因为 b2=a2+c2-2accos B2 ac-ac=ac,当且仅当 a=c时取等号,所以 ac3,所以 S= acsin B= ac ,4所以 S的最大值为 .能力提升5.解:(1)由 = 及正弦定理得( b-a)(b+a)=(b-c)c,所以 bc=b2+c2-a2,所以 cos A=
5、 ,因为 A ,所以 A= .(2)因为 a= ,A= ,所以 = = = =2,所以 b+c=2(sin B+sin C)=2 sin B+sin -B =2 cos .因为 ABC为锐角三角形,所以 B , ,则 B- ,所以 cos ,所以 b+c(3,2 .6.解:(1) AD= DC,BD=2DC=2,AD= ,DC=1,BC=BD+DC=3.AB AD, 在 Rt ABD中,sin ABD= = ,又 ABD(0,90), ABD=60,AB= 1.在 ABC中,由余弦定理可得,AC2=AB2+BC2-2ABBCcos ABC=1+9-23 =7,AC= .(2)在 ACD中,由正弦定理得 = ,AD= DC, = .AB=AC ,B=C , BAC=180-2B. BAD=90, DAC= BAC- BAD=180-2B-90=90-2B, = , = ,化简得 2 sin2B+sin B- =0,即( sin B-1)(2sin B+ )=0.B (0,180), sin B0, sin B= .
