1、1第 8讲 三角恒等变换与正、余弦定理1.(1)2016全国卷 已知 是第四象限角,且 sin + = ,则 tan - = . (2)2017全国卷 已知 ,tan = 2,则 cos - = . 试做_命题角度 不同名三角函数的求值(1)解决“已知角”与“所求角”不同名的求值问题:关键一,根据“所求角”与“已知角”的和或差的关系进行“变角”,对角的分拆要尽可能化成同角、补角、余角或特殊角;关键二,利用诱导公式进行“变名”求值 .(2)常见的配角技巧:2 = (+ )+(- ),= (+ )- ,= - ,= +, = + - + , + - - = 等 .2.(1)2016全国卷 若 ta
2、n =- ,则 cos 2= ( )A.- B.- C. D.(2)2013全国卷 已知 sin 2= ,则 cos2 = ( )A. B. C. D.试做_命题角度 求高次幂或倍角的三角函数值问题(1)解决已知正切值,求高次幂或倍角的三角函数值问题:关键一,应用倍角公式将倍角转化2为“已知角”;关键二,“1”的代换,1 =sin2+ cos2= (sin + cos )2-2sin cos ;关键三,弦切互化,tan = .(2)解决已知倍角值,求高次幂的三角函数值问题:关键一,应用倍角公式将高次幂的三角函数转化为倍角;关键二,利用诱导公式进行变名求值 .3.(1)2017全国卷 ABC的内
3、角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= ,则 C= ( )A. B.C. D.(2)2018全国卷 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知 bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则 ABC的面积为 . (3)2014全国卷 如图 M2-8-1,为测量山高 MN,选择 A和另一座山的山顶 C为测量观测点 .从 A点测得 M点的仰角 MAN=60,C点的仰角 CAB=45,以及 MAC=75,从 C点测得 MCA=60.已知山高 BC=100 m,则山高 MN= m. 图
4、 M2-8-1试做_命题角度 正、余弦定理的应用(1)利用正、余弦定理求边、角的解题策略:关键一,利用正、余弦定理进行边角互化;关键二,运用三角恒等变换和 A+B+C= 进行化简、消元,求出所求角;关键三,已知两边和一边的对角或已知两角和一边,则选用正弦定理解三角形 .(2)利用正、余弦定理,解决实际问题的一般步骤: 理解题意,分清已知与未知,画出示意图; 根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型; 利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;3 检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解 .小题 1三角恒等变换与求
5、值1 (1)2018全国卷 已知 tan = ,则 tan = . (2)若 sin - = ,则 cos +2 = ( ) A. B.C.- D.-听课笔记 _【考场点拨】高考中三角恒等变换与求值的常用解题策略:(1)“1”的代换,1 =sin2+ cos2 ;(2)降幂与升幂,二倍角公式的应用及逆用;(3)转化法,弦切互化,一般是切化弦;(4)角的拆分,2 = (+ )+(- ),2= (+ )-(- ),= (+ )- ,= (+ )- 等 .【自我检测】1.已知 cos = ,则 sin -2 = ( )A.- B.C. D.-2.已知 cos + =2cos( - ),则 tan +
6、 = ( )A.- B.-3C. D.343.已知 sin + cos = ,则 sin2 - = ( )A. B.C. D.4.2018全国卷 已知函数 f(x)=2cos2x-sin2x+2,则 ( )A.f(x)的最小正周期为 ,最大值为 3B.f(x)的最小正周期为 ,最大值为 4C.f(x)的最小正周期为 2,最大值为 3D.f(x)的最小正周期为 2,最大值为 4小题 2利用正、余弦定理解三角形2 (1)在 ABC中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 a+b+c=20,三角形的面积为10 ,A=60,则 a= ( )A.7 B.8C.5 D.6(2)在 ABC中,若满足
7、 acos A=bcos B,则 ABC的形状为 ( )A.等腰三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形听课笔记 _【考场点拨】高考中利用正、余弦定理解三角形的解题策略:在解三角形时,要有意识地考虑哪个定理更适合解题,甚至两个定理都需要,当给的条件含有角的余弦或边的二次式时,多考虑余弦定理,当给的条件含有角的正弦或边的一次式时,多考虑正弦定理 .当以上特征不明显时,要考虑哪个定理更适合或者两个定理都要用 .【自我检测】1.2018全国卷 在 ABC中,cos = ,BC=1,AC=5,则 AB= ( )5A.4 B.C. D.22.在 ABC中,内角 A,B,C所对应的边分别
8、为 a,b,c.若角 A,B,C依次成等差数列,且 a=1,b=,则 S ABC= ( )A. B.C. D.23.已知锐角 ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 b2=a(a+c),则 的取值范围是 ( )A. 0, B. ,C. , D. 0,4.在 ABC中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若其面积 S= ,则 cos 2A= .小题 3正、余弦定理的实际应用3 已知台风中心位于城市 A东偏北 ( 为锐角)度方向的 150 km处,以 v km/h沿正西方向快速移动,2 .5 h后到达距城市 A西偏北 ( 为锐角 )度方向的 200 km处,若 cos =c
9、os ,则 v= ( )A.60 B.80C.100 D.125听课笔记 _【考场点拨】高考中三角形的应用的解题策略:三角形的应用实际上是把此类问题转化为解三角形问题,通过题设画出图形,在三角形中找出已知条件和所求的量,利用正弦定理或者余弦定理去解决 .【自我检测】1.如图 M2-8-2,从气球 A上测得正前方的河流的两岸 B,C的俯角分别为 75,30,此时气6球的高度是 60 m,则河流的宽度图 M2-8-2BC等于 ( )A.240( -1) mB.180( -1) mC.120( -1) mD.30( +1) m2.海上有 A,B两个小岛相距 10 n mile,从 A岛望 B岛和 C
10、岛成 60的视角,从 B岛望 A岛和 C岛成 75的视角,则 B,C间的距离是 ( )A.5 n mileB.10 n mileC. n mileD.5 n mile7第 8讲 三角恒等变换与正、余弦定理典型真题研析1.(1)- (2) 解析 (1)方法一:因为 是第四象限角,且 sin + = 0,所以+ 为第一象限角,所以 cos + = = ,所以 tan - =tan + - =-cot + =- =- .方法二:由 sin + = ,得 sin + cos = ,两边分别平方得 2sin cos =- ,所以(sin - cos )2=1-2sin cos = .因为 是第四象限角,
11、所以 sin - cos =- ,所以 tan - = = =- .(2)因为 ,tan = 2,所以 sin = ,cos = ,于是 cos = (cos + sin )= .2.(1)D (2)A 解析 (1)cos 2 = = = = .(2)cos2 = = = ,故选 A.3.(1)B (2) (3)150 解析 (1)因为 sin B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=(sin A+cos A)sin C=0,所以 sin A=-cos A,得 A= .又由正弦定理 = ,得 = ,解得 sin C= ,所以 C=
12、 .8(2)由 b2+c2-a2=8 得 2bccos A=8,可知 A为锐角,且 bccos A=4.由已知及正弦定理得 sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C,因为 sin B0,sin C0,所以可得 sin A= ,所以 A=30,所以 bccos 30=4,即 bc= ,所以 ABC 的面积 S= bcsin A= = .(3)在 Rt ABC中, BC=100, CAB=45,所以 AC=100 .在 MAC中, MAC=75, MCA=60,所以 AMC=45,由正弦定理有 = ,即 AM= 100 =100,于是在 Rt AMN中,有 MN
13、=sin 60100 =150 .考点考法探究小题 1例 1 (1) (2)D 解析 (1)tan = tan - + = = .(2)sin - =sin - + =cos + = ,cos +2 =cos 2 + =2cos2 +-1=- .故选 D.【自我检测】1.A 解析 sin -2 =cos 2= 2cos2- 1=2 -1=- ,故选 A.2.B 解析 由 cos + =2cos( - ),可得 -sin =- 2cos ,得 tan = 2,则tan + = = =-3,故选 B.3.B 解析 将 sin + cos = 两边平方得 1+2sin cos = ,即 sin 2=
14、- ,因为sin2 - = = ,所以 sin2 - = = .故选 B.4.B 解析 由题知, f(x)=1+cos 2x- +2= cos 2x+ ,所以 f(x)的最小正周期为9=,当 cos 2x=1时, f(x)取得最大值 4,故选 B.小题 2例 2 (1)A (2)D 解析 (1)由题意可得, S ABC= bcsin A= bcsin 60=10 ,bc= 40,a+b+c= 20, 20-a=b+c.由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos 60=(b+c)2-3bc=(20-a)2-120,得 a=7,故选 A.(2)在 ABC中, a cos A=bcos B, 由正
15、弦定理 = =2R,得 a=2Rsin A,b=2Rsin B, sin Acos A=sin Bcos B, sin 2A= sin 2B, sin 2A=sin 2B, 2A=2B或 2A= -2B,A=B 或 A+B= , ABC为等腰或直角三角形,故选 D.【自我检测】1.A 解析 由已知得 cos C=2cos2 -1=2 2-1=- ,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C=25+1-251 - =32,所以 AB=4 ,故选 A.2.C 解析 角 A,B,C依次成等差数列, B= 60,由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B,c= 2,S ABC=
16、acsin B= ,故选 C.3.C 解析 b 2=a2+c2-2accos B,b2=a(a+c),ac=c 2-2accos B,a=c- 2acos B, sin A=sin C-2sin Acos B=sin(A+B)-2sin Acos B=sin(B-A). ABC为锐角三角形, A=B-A,B= 2A. 0A ,0B=2A ,0C= -A-B= -3A , A , =sin A ,故选 C.4. 解析 因为 b2+c2-a2=2bccos A,由 S= 得 b2+c2-a2=16S,即 2bccos A=16 bcsin A,所以 cos A=4sin A,所以 cos2A=16
17、(1-cos2A),得 cos2A= ,所以 cos 2A=2cos2A-1=2 -1=.小题 3例 3 C 解析 由题意画出示意图,如图所示,在 ABC中, BC=2.5v,由余弦定理得(2 .5v)102=2002+1502+2200150cos(+ ) ,由正弦定理得 = ,即 sin = sin . 由sin2+ cos2= 1得 sin = ,故 cos = ,sin = ,cos = ,故 cos(+ )= - =0,代入 得 v=100.故选 C.【自我检测】1.C 解析 AC=120,AB= ,由正弦定理得 = ,所以 BC= =120( -1),故选 C.2.D 解析 根据题
18、意知 AB=10,A=60,B=75,则 C=45, = ,BC= =5 .故选 D.备选理由 在三角恒等变形时,有一种方法是转化法:弦切互化,一般是切化弦,但有时也互化解决问题,备用例 1是弦化切的典型应用;解三角形时有时会涉及最值问题,解决的方法常用到三角函数的有界性、基本不等式等,备用例 2作为例 2的补充 .例 1 配例 1使用 已知 tan - = ,则 sin2 + = ( )A. B.C. D.解析 B 由题意得 tan - = = ,得 tan =- ,而 sin2 + = = += + = ,故选 B.例 2 配例 2使用 在 ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知( a+b-c)(a+b+c)=3ab,且 c=4,则 ABC面积的最大值为 . 答案 4解析 由已知有 a2+b2-c2=ab,所以 cos C= = = ,由于 C(0,),所以 sin 11C= ,又 16=a2+b2-ab2 ab-ab=ab,则 ab16,当且仅当 a=b=4时等号成立 .故 S ABC= absin C 16 =4 , ABC面积的最大值为 4 .
