1、1压轴题增分练(三)(时间：30 分钟 满分：24 分)1(12 分)椭圆 E： 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F2作垂直于 xx2a2 y2b2轴的直线 l 与椭圆 E 在第一象限交于点 P，若| PF1|5，且 3a b2.(1)求椭圆 E 的方程；(2)A， B 是椭圆 C 上位于直线 l 两侧的两点若直线 AB 过点(1，1)，且 APF2 BPF2，求直线 AB 的方程规范解答及评分标准 (1)由题意知，| PF2| 3.b2a| PF1|5，| PF1| PF2|2 a8， a4， b23 a12，椭圆 E 的方程为 1.(4 分)x216 y212(2)由(
2、1)可得 c2.把 x2 代入 1，得 y3(负值已舍去)x216 y212点 P 的坐标为(2,3)(6 分) APF2 BPF2，直线 PA， PB 的斜率之和为 0.设直线 PA 的斜率为 k，则直线 PB 的斜率为 k，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则直线 PA的方程为 y3 k(x2)联立方程Error!消去 y 并整理，得(34 k2)x28 k(32 k)x4(32 k)2480. x12 .(8 分)8k 2k 33 4k2同理可得直线 PB 的方程为 y3 k(x2)，x22 . 8k 2k 33 4k2 8k 2k 33 4k2 x1 x2 ， x1 x2
3、.(10 分)16k2 123 4k2 48k3 4k2kAB ，y1 y2x1 x2 k x1 2 3 k x2 2 3x1 x2 k x1 x2 4kx1 x2 12满足条件的直线 AB 的方程为 y1 (x1)，即 x2 y30.(12 分)122(12 分)已知函数 f(x) x2(2 m1) xln x(mR)(1)当 m 时，若函数 g(x) f(x)( a1)ln x 恰有一个零点，求实数 a 的取值范12围；(2)当 x1 时， f(x)0)无零点(2 分)当 a0 时， g( x)0，所以 g(x)在(0，)上单调递增取 x0e ，则 g(e )1(e )2 时， g( x)
4、0，即 g(x)在 上单调递增 a2 ( a2， )要使函数 f(x)有一个零点，则 g aln 0，解得 a2e.( a2) a2 a2综上所述，若函数 g(x)恰有一个零点，则 a2e 或 a0.(6 分)(2)令 h(x) f(x)(1 m)x2 mx2(2 m1) xln x，则 h( x)2 mx(2 m1) .1x x 1 2mx 1x根据题意可知，当 x(1，)时， h(x)0，所以 h(x)在 上是增函数，12 (12m， ) (12m， )且 h(x) ，所以不符合题意(8 分)(h(12m)， )若 m ，则当 x(1，)时， h( x)0 恒成立，所以 h(x)在(1，)上是增函12数，且 h(x)( h(1)，)，所以不符合题意(10 分)若 m0，则当 x(1，)时，恒有 h( x)0，所以 h(x)在(1，)上是减函数，要使 h(x)0 对任意 x(1，)恒成立，则 h(1)0，即 m(2 m1)0，解得 m1，故1 m0.综上所述，实数 m 的取值范围是1,0(12 分)
