1、1专题提能五 解析几何综合问题中优化运算的提能策略1若椭圆 1( a b0)的左、右焦点分别为 F1、 F2，线段 F1F2被抛物线x2a2 y2b2y22 bx 的焦点 F 分成了 31 的两段(1)求椭圆的离心率；(2)过点 C(1,0)的直线 l 交椭圆于不同两点 A， B，且 2 ，当 AOB 的面积最大AC CB 时，求直线 l 的方程解析：(1)由题意知， c 3 ，b2 (c b2)所以 b c， a22 b2，所以 e .ca 1 (ba)2 22(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 x ky1( k0)，因为 2 ，所以(1 x1， y1)
2、2( x21， y2)，即 y12 y2， AC CB 由(1)知，椭圆方程为 x22 y22 b2.由Error! 消去 x，得( k22) y22 ky12 b20，所以 y1 y2 ， 2kk2 2由知， y2 ， y1 ，2kk2 2 4kk2 2因为 S AOB |y1| |y2|，12 12所以 S AOB3 3|k|k2 2 12|k| |k|3 ，12 2|k|k| 324当且仅当| k|22，即 k 时取等号，2此时直线 l 的方程为 x y10 或 x y10.2 22(2018石家庄摸底)已知椭圆 C： 1( a b0)的左、右顶点分别为 A、 B，x2a2 y2b2且长
3、轴长为 8， T 为椭圆上任意一点，直线 TA， TB 的斜率之积为 .342(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 O 为坐标原点，过点 M(0,2)的动直线与椭圆 C 交于 P， Q 两点，求 OP OQ MP 的取值范围MQ 解析：(1)设 T(x， y)，由题意知 A(4,0)， B(4,0)，设直线 TA 的斜率为 k1，直线 TB 的斜率为 k2，则 k1 ， k2 .yx 4 yx 4由 k1k2 ，得 ，34 yx 4 yx 4 34整理得 1.x216 y212故椭圆 C 的方程为 1.x216 y212(2)当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 y kx2，点 P
4、， Q 的坐标分别为(x1， y1)，( x2， y2)，联立方程Error!消去 y，得(4 k23) x216 kx320.所以 x1 x2 ， x1x2 .16k4k2 3 324k2 3从而， x1x2 y1y2 x1x2( y12)( y22)2(1 k2)x1x22 k(x1 x2)OP OQ MP MQ 4 20 . 80k2 524k2 3 84k2 3所以20 .OP OQ MP MQ 523当直线 PQ 的斜率不存在时， 的值为20.OP OQ MP MQ 综上， 的取值范围为 .OP OQ MP MQ 20， 5233(2018浦东五校联考)已知椭圆 C 的中心在原点，离
5、心率等于 ，它的一个短轴端12点恰好是抛物线 x28 y 的焦点3(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图，已知 P(2,3)， Q(2，3)是椭圆上的两点， A， B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点若直线 AB 的斜率为 ，求四边形 APBQ 面积的最大值；12当 A， B 运动时，满足 APQ BPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由3解析：(1)设椭圆 C 的方程为 1( a b0)，则 b2 .x2a2 y2b2 3由 ， a2 c2 b2，得 a4，ca 12椭圆 C 的方程为 1.x216 y212(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)设直线 AB 的方程为
6、 y x t，12代入 1，得 x2 tx t2120，x216 y212由 0，解得4 t4，由一元二次方程根与系数的关系得 x1 x2 t， x1x2 t212，| x1 x2| . x1 x2 2 4x1x2 t2 4 t2 12 48 3t2四边形 APBQ 的面积 S 6|x1 x2|3 .12 48 3t2当 t0 时， S 取得最大值，且 Smax12 .3若 APQ BPQ，则直线 PA， PB 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k，则直线PB 的斜率为 k，直线 PA 的方程为 y3 k(x2)，由Error!得(34 k2)x28(32 k)kx4(32 k)248
7、0， x12 ，8 2k 3 k3 4k2将 k 换成 k 可得 x22 ， 8k 2k 33 4k2 8k 2k 33 4k2 x1 x2 ， x1 x2 ，16k2 123 4k2 48k3 4k2 kAB ，y1 y2x1 x2 k x1 2 3 k x2 2 3x1 x2 k x1 x2 4kx1 x2 12直线 AB 的斜率为定值 .1244已知椭圆 E： 1( a b0)的离心率为方程 2x23 x10 的解，点 A， Bx2a2 y2b2分别为椭圆 E 的左、右顶点，点 C 在 E 上，且 ABC 面积的最大值为 2 .3(1)求椭圆 E 的方程；(2)设 F 为 E 的左焦点，
8、点 D 在直线 x4 上，过 F 作 DF 的垂线交椭圆 E 于 M， N 两点证明：直线 OD 把 DMN 分为面积相等的两部分解析：(1)方程 2x23 x10 的解为 x1 ， x21，12椭圆离心率 e(0,1)， e ，12由题意得Error!解得Error!椭圆 E 的方程为 1.x24 y23(2)证明：设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， D(4， n)，线段 MN 的中点为 P(x0， y0)，故 2x0 x1 x2,2y0 y1 y2，由(1)可得 F(1,0)，则直线 DF 的斜率为 kDF ，n 0 4 1 n3当 n0 时，直线 MN 的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知 OD 平分线段 MN.当 n0 时，直线 MN 的斜率 kMN ，3n y1 y2x1 x2点 M， N 在椭圆 E 上，Error!整理得 0， x1 x2 x1 x24 y1 y2 y1 y23又 2x0 x1 x2,2y0 y1 y2， 0，即 ，x02 2y03 3n y0x0 n4即直线 OP 的斜率为 kOP ，n4又直线 OD 的斜率为 kOD ， OD 平分线段 MN.n4综上，直线 OD 把 DMN 分为面积相等的两部分
