1、1第二讲 圆锥曲线的方程与性质考点一 圆锥曲线的定义与标准方程圆锥曲线的定义(1)椭圆：| PF1| PF2|2 a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：| PF1| PF2|2 a(2a0， b0)的右焦点为 F，点 B是x2a2 y2b2虚轴的一个端点，线段 BF与双曲线 C的右支交于点 A，若 2 ，且| |4，则双曲线BA AF BF C的方程为( )A. 1 B. 1x26 y25 x28 y212C. 1 D. 1x28 y24 x24 y26解析 不妨设 B(0， b)，由 2 ， F(c,0)，可得 A ，代入双曲线 C的方程BA AF (2c3， b3)可得 1，即 ， ，49
2、 c2a2 19 49 a2 b2a2 109 b2a2 32又| | 4， c2 a2 b2，BF b2 c2 a22 b216，由可得， a24， b26，双曲线 C的方程为 1，故选 D.x24 y26答案 D3抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F， O为坐标原点， M为抛物线上一点，且|MF|4| OF|， MFO的面积为 4 ，则抛物线的方程为( )3A y26 x B y28 xC y216 x D y2 x152解析 设 M(x， y)，因为| OF| ，| MF|4| OF|，所以| MF|2 p，由抛物线定义知p2x 2 p，所以 x p，所以 y p，又 MFO的面积为
3、 4 ，所以 p4 ，p2 32 3 3 12 p2 3 3解得 p4( p4 舍去)所以抛物线的方程为 y28 x.答案 B4(2018安徽淮南三校联考)已知双曲线 1 右焦点为 F， P为双曲线左支上x24 y22一点，点 A(0， )，则 APF周长的最小值为( )2A4 B4(1 )2 2C2( ) D. 32 6 6 2解析 由题意知 F( ，0)，设左焦点为 F0，则 F0( ，0)，由题可知 APF的周6 6长 l为| PA| PF| AF|，而3|PF|2 a| PF0|， l| PA| PF0|2 a| AF| AF0| AF|2 a 0 62 2 02 22 4 44( 1
4、)，当且仅当 A、 F0、 P三点共线时取得6 02 0 22 2 2“” ，故选 B.答案 B快速审题 看到求圆锥曲线方程，想到待定系数法、定义法；看到椭圆和双曲线上一点与两焦点构成的三角形，想到定义的应用求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程(2)计算，即利用定义或待定系数法求出方程中的 a2， b2或 p.考点二 圆锥曲线的几何性质1在椭圆中： a2 b2 c2，离心率为 e .ca 1 (ba)22在双曲线中： c2 a2 b2，离心率为 e .ca 1 (ba)23双曲线 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x.x2
5、a2 y2b2 ba解析 4答案 (1)A (2)D解析 5答案 5 22解析 6答案 (1，5 12 7解析 答案 C解析 8答案 A考点三 抛物线中的最值问题9解析 (1)由题意得圆 x2( y4) 21 的圆心 A(0,4)，半径 r1，抛物线的焦点F(1,0)由抛物线的几何性质可得：点 P到点 Q的距离与点 P到抛物线的准线距离之和的最小值是| AF| r 1 1.选 C.1 16 17(2)过 P作 PM l于 M，则由抛物线定义知| PM| PF|，故| PA| PF| PA| PM|.当 A、 P、 M三点共线时，|PA| PM|最小，此时点 P坐标为(2,2)，故选 C.答案
6、(1)C (2)C与抛物线最值有关问题的两种转化10(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短” ，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决对点训练1(2018郑州检测)已知抛物线 x24 y上有一条长为 6的动弦 AB，则 AB的中点到x轴的最短距离为( )A. B. C1 D234 32解析 由题意知，抛物线的准线 l： y1，过点 A作 AA1 l交 l于点 A1，过点 B作 BB1 l交 l于点 B1，设弦 AB的中点为 M，过点 M作 MM1 l交 l于点 M1，则|MM1| .因
7、为| AB| AF| BF|(F为抛物线的焦点)，即|AA1| |BB1|2|AF| BF|6，所以| AA1| BB1|6，2| MM1|6，| MM1|3，故点 M到 x轴的距离d2，选 D.答案 D2已知点 F为抛物线 y28 x的焦点， O为坐标原点，点 P是抛物线准线上一动点，点 A在抛物线上，且| AF|4，则| PA| PO|的最小值为( )A6 B24 2C2 D413 3解析 由已知可得抛物线 y28 x的焦点为 F(2,0)，准线方程为 x2.设点 A的坐标为( x0， y0)，根据抛物线的定义可得 2 x04，所以 x02， y04. O关于准线的对称点为 O(4,0)，
8、则当点 P为 AO与准线 x2 的交点时，| PA| PO|有最小值，且最小值为| AO|2 .13答案 C1(2018浙江卷)双曲线 y21 的焦点坐标是( )x23A( ，0)，( ，0) B(2,0)，(2,0)2 2C(0， )，(0， ) D(0，2)，(0,2)2 2解析 a23， b21， c 2.又焦点在 x轴上，双曲线的焦点坐a2 b2标为(2,0)，(2,0)答案 B2(2018天津卷)已知双曲线 1( a0， b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直x2a2 y2b211于 x轴的直线与双曲线交于 A， B两点设 A， B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且
9、d1 d26，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 y212 x212 y24C. 1 D. 1x23 y29 x29 y23解析 双曲线 1( a0， b0)的离心率为 2， e21 4， 3，x2a2 y2b2 b2a2 b2a2即 b23 a2， c2 a2 b24 a2，由题意可设 A(2a,3a)， B(2a，3 a)， 3，渐近线方程为 y x，b2a2 3则点 A与点 B到直线 x y0 的距离分别为 d1 a， d23|23a 3a|2 23 32 a，又 d1 d26， a a6，解得|23a 3a|2 23 32 23 32 23 32a ， b29，双曲线的方程
10、为 1，故选 C.3x23 y29答案 C3(2018全国卷)已知 F1， F2是椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点， A是 Cx2a2 y2b2的左顶点，点 P在过 A且斜率为 的直线上， PF1F2为等腰三角形， F1F2P120，则36C的离心率为( )A. B. C. D.23 12 13 14解析 由题意易知直线 AP的方程为 y (x a)，36直线 PF2的方程为 y (x c)3联立得 y (a c)，3512如图，过 P向 x轴引垂线，垂足为 H，则| PH| (a c)35因为 PF2H60，| PF2| F1F2|2 c，| PH| (a c)，35所以 sin60
11、|PH|PF2| ，35a c2c 32即 a c5 c，即 a4 c，所以 e .故选 D.ca 14答案 D4(2018江苏卷)在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 1( a0， b0)的右焦x2a2 y2b2点 F(c,0)到一条渐近线的距离为 c，则其离心率的值是_32解析 双曲线的一条渐近线方程为 bx ay0，则 F(c,0)到这条渐近线的距离为 c， b c， b2 c2，又 b2 c2 a2， c24 a2， e 2.|bc|b2 a2 32 32 34 ca答案 25(2018北京卷)已知椭圆 M： 1( ab0)，双曲线 N： 1.若双曲线x2a2 y2b2 x2m2 y2
12、n2N的两条渐近线与椭圆 M的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M的离心率为_；双曲线 N的离心率为_解析 解法一：如图是一个正六边形， A， B， C， D是双曲线 N的两条渐近线与椭圆M的四个交点， F1， F2为椭圆 M的两个焦点13直线 AC是双曲线 N的一条渐近线，且其方程为 y x，3 .设 m k，则 n k，则双曲线 N的离心率 e2 2.nm 3 3 k2 3k2k连接 F1C，在正六边形 ABF2CDF1中，可得 F1CF290， CF1F230.设椭圆的焦距为 2c，则| CF2| c，| CF1| c，再由椭圆的定义得3|CF1| CF2|2
13、a，即( 1) c2 a，椭圆 M的离心率 e1 3ca 23 1 23 13 13 1 1.3解法二：双曲线 N的离心率同解法一由题意可得 C点坐标为 ，代入椭圆 M(c2， 32c)的方程，并结合 a， b， c的关系，联立得方程组Error!解得 1 .ca 3 (ca 3 1舍 去 )答案 1 23圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择、填空题的形式考查，常出现在第 411 或 1516 题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等热点课题 15 几何情境下的圆锥曲线问题14感悟体验1(2018福建福州质检)已知双曲线 E： 1( a0， b0)的左、右焦点分
14、别为x2a2 y2b2F1、 F2，| F1F2|6， P是 E右支上的一点， PF1与 y轴交于点 A， PAF2的内切圆与边 AF2的切点为 Q.若| AQ| ，则 E的离心率是( )3A2 B. C. D.3 5 3 2解析 如图所示，设 PF1、 PF2分别与 PAF2的内切圆切于 M、 N，依题意，有|MA| AQ|，| NP| MP|，| NF2| QF2|，| AF1| AF2| QA| QF2|，2 a| PF1| PF2|(| AF1| MA| MP|)(| NP| NF2|)2| QA|2 ，故 a ，从而 e ，3 3ca 33 3故选 C.15答案 C2.(2018贵阳
15、监测)已知点 P是双曲线 C： 1( a0， b0)左支上一点， F1、 F2x2a2 y2b2分别是双曲线的左、右焦点，且 PF1 PF2， PF2与两条渐近线相交于 M、 N两点(如图)，点N恰好平分线段 PF2，则双曲线的离心率是_解析 由题意可知， ON为 PF1F2的中位线， PF1 ON，tan PF1F2tan NOF2 kON ，baError!解得Error!又| PF2| PF1|2 a，2 b2 a2 a， b2 a， c a， e .a2 b2 5ca 5答案 5专题跟踪训练(二十五)一、选择题1(2018广西三市第一次联合调研)若抛物线 y22 px(p0)上的点 A
16、(x0， )到其焦2点的距离是 A到 y轴距离的 3倍，则 p等于( )16A. B1 C. D212 32解析 由题意 3x0 x0 ， x0 ，则 2， p0， p2.故选 D.p2 p4 p22答案 D2(2018深圳一模)过点(3,2)且与椭圆 3x28 y224 有相同焦点的椭圆方程为( )A. 1 B. 1x25 y210 x210 y215C. 1 D. 1x215 y210 x210 y25解析 椭圆 3x28 y224 的焦点为( ，0)，可得 c ，设所求椭圆的方程为5 5 1，可得 1，又 a2 b25，得 b210， a215，所以所求的椭圆方程为x2a2 y2b2 9
17、a2 4b2 1.故选 C.x215 y210答案 C3(2018福州模拟)已知双曲线 1( a0， b0)的右顶点与抛物线 y28 x的焦x2a2 y2b2点重合，且其离心率 e ，则该双曲线的方程为( )32A. 1 B. 1x24 y25 x25 y24C. 1 D. 1y24 x25 y25 x24解析 易知抛物线 y28 x的焦点为(2,0)，所以双曲线的右顶点是(2,0)，所以a2.又双曲线的离心率 e ，所以 c3， b2 c2 a25，所以双曲线的方程为32 1，选 A.x24 y25答案 A4(2018合肥二模)若中心在原点，焦点在 y轴上的双曲线离心率为 ，则此双曲线3的渐
18、近线方程为( )A y x B y x22C y x D y x212解析 根据题意，该双曲线的离心率为 ，即 e ，则有 c a，进而 b3ca 3 317 a.又由该双曲线的焦点在 y轴上，则其渐近线方程为 y x x.故选 B.c2 a2 2ab 22答案 B5(2018郑州一模)已知双曲线 x21 的两条渐近线分别与抛物线 y22 px(p0)y24的准线交于 A， B两点， O为坐标原点，若 OAB的面积为 1，则 p的值为( )A1 B. C2 D42 2解析 双曲线 x21 的两条渐近线方程是 y2 x，抛物线 y22 px(p0)的准线y24方程是 x ，故 A， B两点的纵坐
19、标分别是 y p.又 AOB的面积为p21， 2p1. p0，得 p .故选 B.12 p2 2答案 B6(2018东北三校联考)已知 F1， F2是双曲线 E： 1( a0， b0)的左、右焦x2a2 y2b2点，过点 F1的直线 l与 E的左支交于 P， Q两点，若| PF1|2| F1Q|，且 F2Q PQ，则 E的离心率是( )A. B. C. D.52 72 153 173解析 设| F1Q| t(t0)，则| PF1|2 t，由双曲线的定义有，|F2Q| t2 a，| PF2|2 t2 a，又 F2Q PQ，所以 F1F2Q， PQF2都为直角三角形由勾股定理有Error! 即Er
20、ror!解得Error!故离心率 e .故选 D.ca 173答案 D7(2018长沙一模) A是抛物线 y22 px(p0)上一点， F是抛物线的焦点， O为坐标原点，当| AF|4 时， OFA120，则抛物线的准线方程是( )A x1 B y1C x2 D y2解析 过 A向准线作垂线，设垂足为 B，准线与 x轴的交点为 D.因为 OFA120，所以 ABF为等边三角形， DBF30，从而 p| DF|2，因此抛物线的准线方程为x1.选 A.答案 A8(2018陕西西安三模)已知圆 x2 y24 x30 与双曲线 1 的渐近线相切，x2a2 y2b218则双曲线的离心率为( )A. B2
21、 C2 D.3 3 2233解析 将圆的一般方程 x2 y24 x30 化为标准方程( x2) 2 y21.由圆心(2,0)到直线 x y0 的距离为 1，得 1，解得 2 ，所以双曲线的离心率为 e ba|2ba|1 (ba)2 (ba) 13 .故选 D.1 (ba)2 233答案 D9(2018宁夏银川一中二模)已知直线 y x和椭圆 1( ab0)交于不同的233 x2a2 y2b2两点 M， N，若 M， N在 x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.22 32 33 23解析 由题意可知， M， N在 x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则 M点
22、坐标为，则 c，则 3b22 ac，即 3c22 ac3 a20.(c，b2a) b2a 233 3 3上式两边同除以 a2，整理得 3e22 e30，解得 e 或 e .由 0b0)， B1PA2为钝角可转化为 ， 所夹x2a2 y2b2 B2A2 F2B1 的角为钝角，则( a， b)( c， b)0，即(ca) cae2 e10， e 或 e0)和抛物线 y28 x有相同的焦点，x2a2 y22则双曲线的离心率为_解析 易知抛物线 y28 x的焦点为(2,0)，所以双曲线 1 的焦点为(2,0)，x2a2 y22则 a222 2，即 a ，所以双曲线的离心率 e .2ca 22 2答案
23、214(2018湖北八校联考)如图所示，已知椭圆 C的中心为原点 O， F(5,0)为 C的左焦点， P为 C上一点，满足| OP| OF|且| PF|6，则椭圆 C的方程为_解析 由题意可得 c5，设右焦点为 F，连接 PF，由| OP| OF| OF|知， PFF FPO， OF P OPF， PFF OF P FPO OPF， FPO OPF90，即 PF PF.在 Rt PFF中，由勾股定理，得|PF| 8，|FF |2 |PF|2 102 62由椭圆的定义，得| PF| PF|2 a6814，从而 a7， a249，于是 b2 a2 c2495 224，椭圆 C的方程为 1.x249
24、 y224答案 1x249 y22415(2018西安四校联考)已知双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1、 F2，过 F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于 P、 Q两点，若 P恰为线段 F1Q的中点，且 QF1 QF2，则此双曲线的渐近线方程为_解析 根据题意， P是线段 F1Q的中点， QF1 QF2，且 O是线段 F1F2的中点，故OP F1Q，而两条渐近线关于 y轴对称，故 POF1 QOF2，又 POF1 POQ，所以 QOF260，渐近线的斜率为 ，故渐近线方程为 y x.3 321答案 y x316.如图，在平面直角坐标系 xOy中， F是椭圆 1( ab0)的右焦点，直线 yx2a2 y2b2与椭圆交于 B， C两点，且 BFC90，则该椭圆的离心率是_b2解析 由已知条件易得 B ， C ， F(c,0)， ，(32a， b2) (32a， b2) BF (c 32a， b2) ，CF (c 32a， b2)由 BFC90，可得 0，BF CF 所以 20，(c32a)(c 32a) ( b2)c2 a2 b20，34 14即 4c23 a2( a2 c2)0，亦即 3c22 a2，所以 ，则 e .c2a2 23 ca 63答案 63
