1、1第三讲 直线与圆锥曲线的位置关系考点一 轨迹方程问题求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立 x、 y之间的关系 F(x， y)0；(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；(3)相关点法(代入法)：动点 P(x， y)依赖于另一动点 Q(x0， y0)的变化而变化，并且Q(x0， y0)又在某已知曲线上，则可先用 x， y的代数式表示 x0， y0，再将 x0， y0代入已知曲线得出要求的轨迹方程；(4)参数法：将动点的坐标( x， y)表示为第三个变量的函数，再消参得所求方程对点训练1已知点 M(3,0)， N(3,0)， B(1,0)，动圆 C与直线
2、 MN切于点 B，过 M， N与圆 C相切的两直线(非 x轴)相交于点 P，则点 P的轨迹方程为( )A x2 1( x1) B x2 1( x0) D x2 1( x1)y28 y210解析 由题意知，| PM| PN| BM| BN|2，由双曲线的定义可知点 P的轨迹是以 M， N为焦点的双曲线的右支，由 c3， a1，知 b28.所以点 P的轨迹方程为2x2 1( x1)故选 A.y28答案 A2(2018豫北四校联考)已知 ABC的顶点 B(0,0)， C(5,0)， AB边上的中线长|CD|3，则顶点 A的轨迹方程为_解析 设 A(x， y)，由题意可知 D .又| CD|3， 2
3、29，即(x2， y2) (x2 5) (y2)(x10) 2 y236，由于 A、 B、 C三点不共线，点 A不能落在 x轴上，即 y0，点 A的轨迹方程为( x10) 2 y236( y0)答案 ( x10) 2 y236( y0)3已知 P是圆 x2 y24 上的动点， P点在 x轴上的射影是 D，点 M满足 ，则DM 12DP 点 M的轨迹方程是_解析 设 M(x， y)，则 D(x,0)，由 知 P(x,2y)，DM 12DP 点 P在圆 x2 y24 上， x24 y24，故动点 M的轨迹 C的方程为 y21.x24答案 y21x244已知双曲线 y21 的左、右顶点分别为 A1，
4、 A2，点 P(x1， y1)， Q(x1， y1)是x22双曲线上不同于 A1、 A2的两个不同的动点，则直线 A1P与 A2Q交点的轨迹方程为_解析 由题设知| x1| ， A1( ，0)， A2( ，0)，则有直线 A1P的方程为 y2 2 2(x )，y1x1 2 2直线 A2Q的方程为 y (x )， y1x1 2 2联立，解得Error!Error! x0，且| x|0)过焦点 F的弦 AB，若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则| AB| x1 x2 p.解 (1)设点 P(x， y)，因为 A( ，0)， B( ，0)，所以直线 PA的斜率为2 2(x )，直线 PB
5、的斜率为 (x )，yx 2 2 yx 2 2又直线 PA的斜率为 k1，直线 PB的斜率为 ，12k1所以 k1 (x )，整理得 y21( x )，yx 2 yx 2 ( 12k1) 12 2 x22 2所以点 P的轨迹 C的方程为 y21( x )x22 2(2)设点 M， N的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，在 y轴上的截距为 1的直线 l的方程为 y kx1，联立方程得Error!消去 y，得(12 k2)x24 kx0，解得 x10， x2 ，4k1 2k2所以| MN| |x1 x2|1 k2 ，1 k2|4k1 2k2| 859整理得 k4 k2200，即(
6、k24)( k25)0，解得 k2.4所以直线 l的方程为 2x y10 或 2x y10.(1)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解(2)弦长计算公式：直线 AB与圆锥曲线有两个交点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则弦长|AB| ，其中 k为弦 AB所在直线的斜率1 k2 x1 x22 4x1x2对点训练已知双曲线 y21 的右焦点是抛物线 y22 px(p0)的焦点，直线 y kx m与抛物x23线相交于 A， B两个不同的点，点 M(2,2)是线段 AB的中点，求 AOB(O为坐标原点)的面积解 由
7、已知可得双曲线的右焦点为(2,0)因为该点也为抛物线的焦点，所以 p4.所以抛物线方程为 y28 x.又因为直线 y kx m与抛物线相交于 A， B两点所以将直线方程代入抛物线方程可得( kx m)28 x，即 k2x2(2 km8) x m20， x1 x2 ， x1x2 .8 2kmk2 m2k2又因为 M(2,2)是线段 AB的中点，所以 x1 x2 4，且 22 k m，8 2kmk2联立解得 k2， m2.所以| AB| |x1 x2| 2 ， O到 AB的距离 dk2 1 k2 1 x1 x22 4x1x2 15.25 S AOB 2 2 .12 15 25 3考点三 直线与圆锥
8、曲线的位置关系1解决直线与椭圆的位置关系的常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后利用根与系数的关系建立方程(组)，解决相关问题2涉及弦的中点坐标时，可以采用“点差法”求解，设出弦端点 A、 B的坐标，分别5代入圆锥曲线方程并作差，变形后可出现弦 AB的中点坐标和直线 AB的斜率证明 (1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 1， 1.x214 y213 x24 y23两式相减，并由 k得 k0.y1 y2x1 x2 x1 x24 y1 y23由题设知 1， m，x1 x22 y1 y22于是 k .34m由题设得 0b0)，则Error!解得Error!x2a2
9、y2b2所以椭圆 C的方程为 1.x24 y23(2)根据题意可设直线 l的方程为 y k(x1)( k0)，联立方程，得Error!消去 x，得 y2 y90， 1440.(3k2 4) 6k 144k2设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ，6k3 4k2y1y2 ， 9k23 4k2又 ，所以 y1 y 2 .把代入得 y1 ， y2AF1 F1B 6 k1 3 4k2，并结合可得 y1y2 ，则 ，6k1 3 4k2 6k21 23 4k22 9k23 4k2 1 2 43 4k2即 2 .1 43 4k2因为 2 0，解得 00)的直线 l与 C交于 A， B
10、两点，| AB|8.(1)求 l的方程；(2)求过点 A， B且与 C的准线相切的圆的方程解 (1)由题意得 F(1,0)， l的方程为 y k(x1)( k0)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)由Error!得 k2x2(2 k24) x k20. 16 k2160，故 x1 x2 .2k2 4k2所以| AB| AF| BF|( x11)( x21) .4k2 4k2由题设知 8，解得 k1(舍去)，或 k1，4k2 4k2因此 l的方程为 y x1.(2)由(1)得 AB的中点坐标为(3,2)，所以 AB的垂直平分线方程为 y2( x3)，即 y x5.设所求圆的圆心坐标为(
11、 x0， y0)，则Error!解得Error!或Error!因此所求圆的方程为( x3) 2( y2) 216或( x11) 2( y6) 2144.圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第 20题的位置，一般难度较大直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程、定点、定值、最值、范围以及存在性问题都是考查的重点，常与向量、函数、不等式等知识结合解题时，常以直线与圆锥曲线的位置关系为突破口，利用设而不求、整体代换的技巧求解，要注重数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想以及转化与化归思想在解题中的指导作用热点课题 16 圆锥曲线中的切线问题10感悟体验1(2018广东茂名第一次综
12、合测试)从抛物线 x24 y的准线 l上一点 P引抛物线的两条切线 PA， PB，且 A， B为切点，若直线 AB的倾斜角为 ，则 P点的横坐标为6_解析 解法一：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， P(x0，1)，则 kAB .y1 y2x1 x2 3311因为 y1 ， y2 ，所以 kAB ，所以 x1 x2 .x214 x24 x1 x24 33 433由 x24 y，得 y ，所以 y ，所以切线 PA的方程为 y y1 (x x1)，切线x24 x2 x12PB的方程为 y y2 (x x2)，x22即切线 PA的方程为 y (x x1)，即 x 2 x1x4 y0，x
13、214 x12 21切线 PB的方程为 y (x x2)，即 x 2 x2x4 y0.x24 x22 2因为点 P(x0，1)同时在切线 PA， PB上，所以 x 2 x1x040， x 2 x2x040，21 2所以 x1， x2是方程 x22 x0x40 的两根，所以 x1 x22 x0，所以 x0 .233解法二：设 P(x0，1)，则直线 AB的方程为 x0x4 ，即 y x1.y 12 x02又直线 AB的倾斜角为 ，所以 ，所以 x0 .6 x02 33 233答案 2332已知一个椭圆的两个焦点分别为 F1(5,0)和 F2(5,0)，且与直线 x y60 相切，则该椭圆的长轴长
14、为_解析 解法一：设切点为 P(x0， y0)，椭圆方程为 1( ab0)，则切线为x2a2 y2b2 1，即 y x ，对比 x y60，可得Error!xx0a2 yy0b2 b2y0 x0a2 b2y0解得Error!代入切线方程 x y60，可得 a2 b2360，由 c5，得 2a .即122该椭圆的长轴长为 .122解法二：设椭圆方程为 1( ab0)，椭圆与直线 x y60 相切于 P点，则x2a2 y2b2|PF1| PF2|2 a.在直线 x y60 上任取异于点 P的点 Q，均有| QF1| QF2|2a，可知点 P是直线 x y60 上到两定点 F1， F2的距离之和最小
15、的点若 F1(5,0)关于直线x y60 对称的点为 F 1，则 F 1， P， F2三点在同一直线上，易得 F 1(6,11)，所以2a| PF1| PF2| PF 1| PF2| F 1F2| .即该椭圆的长轴长为 .122 122答案 122专题跟踪训练(二十六)一、选择题121在直角坐标平面内，点 A， B的坐标分别为(1,0)，(1,0)，则满足tan PABtan PBA m(m为非零常数)的点 P的轨迹方程是( )A x2 1( y0) B x2 1y2m y2mC x2 1( y0) D x2 1y2m y2m解析 设 P(x， y)，由题意，得 m(m0)，化简可得yx 1
16、yx 1x2 1( y0)y2m答案 C2(2018重庆模拟)设 A， P是椭圆 y21 上两点，点 A关于 x轴的对称点为x22B(异于点 P)，若直线 AP， BP分别交 x轴于点 M， N，则 ( )OM ON A0 B1 C. D22解析 依题意，将点 P特殊化为点( ，0)，于是点 M， N均与点( ，0)重合，于是2 2有 2，故选 D.OM ON 答案 D3已知椭圆 E： 1( ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F的直线交 E于 A， B两x2a2 y2b2点若 AB的中点坐标为(1，1)，则 E的方程为( )A. 1 B. 1x245 y236 x236 y227C. 1
17、 D. 1x227 y218 x218 y29解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 1， 1，两式作差并化简变形x21a2 y21b2 x2a2 y2b2得 ，而 ， x1 x22， y1 y22，所以y1 y2x1 x2 b2x1 x2a2y1 y2 y1 y2x1 x2 0 13 1 12a22 b2，又 a2 b2 c29，于是 a218， b29.故选 D.答案 D4(2018唐山市高三五校联考)直线 l与双曲线 C： 1( a0， b0)交于 A， Bx2a2 y2b2两点， M是线段 AB的中点，若 l与 OM(O是原点)的斜率的乘积等于 1，则此双曲线的离心率为
18、( )A2 B. C3 D.2 313解析 设直线 l与双曲线 C： 1( a0， b0)的交点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，x2a2 y2b2易知 x1 x2，则 1( a0， b0) ， 1( a0， b0) ，得x21a2 y21b2 x2a2 y2b2 ，即 ，因为 l与 OM的斜率的乘积等于 1，所以x21 x2a2 y21 y2b2 y1 y2y1 y2x1 x2x1 x2 b2a21，双曲线的离心率 e ，故选 B.b2a2 1 b2a2 2答案 B5(2018郑州市第三次质量预测)椭圆 1 的左焦点为 F，直线 x a与椭圆相x25 y24交于点 M， N，当 F
19、MN的周长最大时， FMN的面积是( )A. B. C. D.55 655 855 455解析 设椭圆的右焦点为 E，由椭圆的定义知 FMN的周长为L| MN| MF| NF| MN|(2 | ME|)(2 | NE|)因为| ME| NE| MN|，所以5 5|MN| ME| NE|0，当直线 MN过点 E时取等号，所以 L4 | MN| ME| NE|45，即直线 x a过椭圆的右焦点 E时， FMN的周长最大，此时 S FMN |MN|EF|512 2 ，故选 C.12 245 855答案 C6(2018福建省高三质检)过抛物线 y24 x的焦点 F的直线 l交抛物线于 A， B两点，交
20、其准线于点 C，且 A， C位于 x轴同侧，若| AC|2| AF|，则| BF|等于( )A2 B3 C4 D5解析 设抛物线的准线与 x轴交于点 D，则由题意，知 F(1,0)， D(1,0)，分别作AA1， BB1垂直于抛物线的准线，垂足分别为 A1， B1，则有 ，所以| AA1| ，故|AC|FC| |AA1|FD| 43|AF| .又 ，即 ，亦即 ，解得43 |AC|BC| |AA1|BB1| |AC|AC| |AF| |BF| |AF|BF| 2|AF|3|AF| |BF| |AF|BF|BF|4，故选 C.答案 C二、填空题7椭圆 C： 1 的左、右顶点分别为 M， N，点
21、P在 C上，且直线 PN的斜率是x24 y23 ，则直线 PM的斜率为_1414解析 设 P(x0， y0)，则 1，直线 PM的斜率 kPM ，直线 PN的斜率x204 y203 y0x0 2kPN ，可得 kPMkPN ，故 kPM 3.y0x0 2 y20x20 4 34 34 1kPN答案 38(2018郑州一模)如图， F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点，过x2a2 y2b2F1的直线 l与 C的左、右两个分支分别交于点 B， A.若 ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为_解析 ABF2为等边三角形，| AB| AF2| BF2|， F1AF260.由双曲线的
22、定义可得| AF1| AF2|2 a，| BF1|2 a.又| BF2| BF1|2 a，| BF2|4 a.| AF2|4 a，| AF1|6 a.在 AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2| AF1|2| AF2|22| AF2|AF1|cos60，(2 c)2(4 a)2(6 a)224 a6a ，整理得 c27 a2， e .12 ca c2a2 7答案 79(2018湖南六校联考)设抛物线 C： y24 x的焦点为 F，过点 P(1,0)作直线 l与抛物线 C交于 A、 B两点若 S ABF ，且| AF|0，则 k0或 kb0)的左焦点，且两焦点与x2a2 y2b2短轴的一个顶
23、点构成一个等边三角形，直线 1 与椭圆 E有且仅有一个交点 M.x4 y2(1)求椭圆 E的方程(2)设直线 1 与 y轴交于 P点，过点 P的直线 l与椭圆 E交于两个不同点 A， B，x4 y2若 |PM|2| PA|PB|，求实数 的取值范围16解 (1)由题意，得 a2 c， b c，则椭圆 E的方程为 1，联立Error!得3x24c2 y23c2x22 x43 c20.直线 1 与椭圆 E有且仅有一个交点 M，x4 y2 44(43 c2)0，得 c21，椭圆 E的方程为 1.x24 y23(2)由(1)得 M点坐标为 .(1，32)直线 1 与 y轴交于点 P(0,2)，x4 y
24、2| PM|2 .54当直线 l与 x轴垂直时，| PA|PB|(2 )(2 )1，3 3由 |PM|2| PA|PB|，得 .45当直线 l与 x轴不垂直时，设直线 l的方程为 y kx2， A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立Error!得(34 k2)x216 kx40，依题意得， x1x2 ，且 48(4 k21)0，43 4k2| PA|PB| (1 k2)x1x2(1 k2) 1y1 22 x21 y2 22 x243 4k2 ， .13 4k2 54 45(1 13 4k2) k2 ， 0)，圆 O： x2 y21.(1)若抛物线 C的焦点 F在圆 O上，且 A为抛物线
25、 C和圆 O的一个交点，求| AF|；(2)若直线 l与抛物线 C和圆 O分别相切于点 M， N，求| MN|的最小值及相应 p的值解 (1)由题意得 F(0,1)，从而抛物线 C： x24 y.解方程组Error!得 yA 2，5| AF| 1.5(2)设 M(x0， y0)，由 y ，xp得切线 l： y (x x0) y0，x0p17结合 x 2 py0，整理得 x0x py py00.20由| ON|1 得 1，即| py0| ，| py0|x20 p2 x20 p2 2py0 p2 p 且 y 10.2y0y20 1 20| MN|2| OM|21 x y 12 py0 y 1 y 14 ( y 1)20 20 204y20y20 1 20 4y20 1 208，当且仅当 y0 时等号成立3| MN|的最小值为 2 ，此时 p .2 3
