1、1第一讲 空间几何体的三视图、表面积与体积考点一 空间几何体的三视图与直观图1三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等” 2原图形面积 S 与其直观图面积 S之间的关系S S.24对点训练1(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )解析 两个木构件咬合成长方体时，小长方体(榫头
2、)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为 A.故选 A.答案 A2(2018河北衡水中学调研)正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为棱 BB1的中点(如图)，用过点 A， E， C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )2解析 过点 A， E， C1的截面为 AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项 C 中的图形故选 C.答案 C3(2018江西南昌二中模拟)一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为( )3A8 B4 C4 D43 2解析 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知， PA平面ABC， DB平面 ABC
3、， AB AC， PA AB AC4， DB2，则易得 S PAC S ABC8， SCPD12， S 梯形 ABDP12， S BCD 4 24 ，故选 D.12 2 2答案 D4如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则该平面图形的面积为_解析 直观图的面积 S (11 ) .故原平面图形的面积 S12 2 22 2 1242 .S 24 2答案 2 2快速审题 (1)看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体(2)看到平面图形直观图的面积计算，想到斜二侧画法，想到原图形与直观图的面积比为 .24由三视图还原到直观图的 3 步
4、骤(1)根据俯视图确定几何体的底面(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置(3)确定几何体的直观图形状考点二 空间几何体的表面积与体积1柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S 柱侧 ch(c 为底面周长， h 为高)；(2)S 锥侧 ch( c 为底面周长， h为斜高)；12(3)S 台侧 (c c) h( c， c 分别为上下底面的周长， h为斜高)122柱体、锥体、台体的体积公式(1)V 柱体 Sh(S 为底面面积， h 为高)；(2)V 锥体 Sh(S 为底面面积， h 为高)；13(3)V 台 (S S) h(不要求记忆)13
5、SS3球的表面积和体积公式S 表 4 R2(R 为球的半径)， V 球 R3(R 为球的半径)43对点训练51(2018浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )A2 B4 C6 D8解析 由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为 1 cm,2 cm，高为 2 cm，直四棱柱的高为 2 cm.故直四棱柱的体积V 226 cm 3.1 22答案 C2(2018哈尔滨师范大学附中、东北师范大学附中联考)某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表面积是( )A. 2 B. 25 12
6、5 12C. 3 D. 2 2 526解析 由三视图知，此几何体为一个半圆锥，其底圆半径为 1，高为 2，故母线长为 ，所以该几何体的表面积 S 1 1 2 22 2.22 12 512 5 12 12 5 12故选 B.答案 B3一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A1 B2 C3 D4解析 由已知易得该几何体是一个以正视图为底面，高为 2 的四棱锥由于正视图是一个上底边为 2，下底边为 4，高为 2 的直角梯形，故该四棱锥的底面积 S (24)1226，则 V Sh 624.故选 D.13 13答案 D4(2018太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(
7、 )7A61 B. 124 24C. D. 123 24 12 23 24解析 由几何体的三视图知，该几何体为一个组合体，其中下部是底面直径为 2，高为 2 的圆柱，上部是底面直径为 2，高为 1 的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为 4 1 1，故选 D.34 24 23 24答案 D快速审题 (1)看到求规则图形的表面积(体积)，想到相应几何体的表面积(体积)公式(2)看到求不规则图形的表面积，想到几何体的侧面展开图(3)看到求不规则图形的体积，想到能否用割补思想、特殊值法等解决求几何体表面积和体积关键过好“两关”(1)还原关，即利用“长对正，宽相等，高平齐”还原空间几何体的直观图(2
8、)公式关，即会利用空间几何体的体积或表面积公式求简单组合体的体积或表面积考点三 多面体与球的切接问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图角度 1：与球的组合体中求棱柱(锥)的表面积或体积8探究追问 若本例中的条件变为“直三棱柱 ABC A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上” ，若 AB3， AC4， AB AC， AA112，求球 O 的表面积解 将直三棱柱补形为长方体 ABEC A1B1E1C1，则球 O 是长方体 ABEC A1B1E1C1的外接球体对角线 BC1的长为球 O 的直径因
9、此 2R 13.32 42 122故 S 球 4 R2169.“切” “接”问题的处理方法(1)“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时要先找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则多通过多面体过球心的对角面来作截面(2)“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径对点训练1角度 1(2018广东惠州二模)已知三棱锥 S ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， AB2， SA SB SC2，则三棱锥 S ABC 的外接球的球心到平面 ABC 的距离是9(
10、)A. B1 C. D.33 3 332解析 三棱锥 S ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，SA SB SC2， S 在底面 ABC 内的射影为 AB 的中点，设 AB 的中点为 H，连接 SH， CH， SH平面 ABC， SH 上任意一点到 A， B， C 的距离相等，易知SH ， CH1，Rt SHC 中 HSC30.在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO，交 SH 于点3O，交 SC 于点 M，则 O 为三棱锥 S ABC 的外接球的球心 SC2， SM1，又 OSM30， SO ， OH ，球心 O 到平面 ABC 的距离为 ，故选 A.233 33 33答案
11、A2角度 2(2018武汉调研)一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为( )A16 B9 C4 D解析 三棱锥如右图，设外接球半径为 R， AB AC2， BAC90， D 为 BC 中点 SD面 ABC.球心 O 在 SD 上， SD2.在直角 ODC 中， OC R， OD2 R， DC .则2(2 R)2( )2 R2，即 R ，故 V ABC 的外接圆的表面积为 S4 R29，选 B.23210答案 B1(2018全国卷)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为
12、 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( )A2 B2 C3 D217 5解析 由圆柱的三视图及已知条件可知点 M 与点 N 的位置如图 1 所示，设 ME 与 FN为圆柱的两条母线，沿 FN 将圆柱的侧面展开，如图 2 所示，连接 MN， MN 即为从 M 到 N 的最短路径，由题意知， ME2， EN4， MN 2 .故选 B.42 22 511答案 B2(2018北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A1 B2 C3 D4解析 由三视图得四棱锥的直观图如图所示其中 SD底面A
13、BCD， AB AD， AB CD， SD AD CD2， AB1.由 SD底面 ABCD， AD， DC， AB底面ABCD，得 SD AD， SD DC， SD AB，故 SDC， SDA 为直角三角形，又 AB AD， AB SD， AD， SD平面 SAD， AD SD D， AB平面 SAD，又 SA平面SAD， AB SA，即 SAB 也是直角三角形，从而 SB 3，又 BCSD2 AD2 AB2 ， SC2 ， BC2 SC2 SB2， SBC 不是直角三角形，故选 C.22 12 5 2答案 C123(2017浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单
14、位：cm3)是( )A. 1 B. 3 2 2C. 1 D. 332 32解析 由三视图可知该几何体是由底面半径为 1 cm，高为 3 cm 的半个圆锥和三棱锥 S ABC 组成的，如图，三棱锥的高为 3 cm，底面 ABC 中， AB2 cm， OC1 cm， AB OC.故其体积 V 1 23 213 cm3.故选 A.13 12 13 12 ( 2 1)答案 A4(2018天津卷)已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E， F， G， H， M(如图)，则四棱锥 M EFGH 的体积为_13解析 由题意知四棱锥的底面 EF
15、GH 为正方形，其边长为 ，即底面面积为 ，由正22 12方体的性质知，四棱锥的高为 .故四棱锥 M EFGH 的体积 V .12 13 12 12 112答案 1125(2017江苏卷)如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是_V1V2解析 设圆柱内切球的半径为 R，则由题设可得圆柱 O1O2的底面圆的半径为 R，高为 2R， .V1V2 R22R43 R3 32答案 321.该部分在高考中一般会以“两小”或“一小”的命题形式出现，这“两小”或“一14小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积2考
16、查一个小题时，本小题一般会出现在第 48 题的位置上，难度一般；考查 2 个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第 1016 题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查热点课题 12 补形法求几何体的表面积与体积感悟体验1(2018太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )15A2 B. C4 D.83 209解析 观察三视图并依托正方体，可得该几何体直观图为 A1 ABEF，如图所示，其体积为 V 正方体 VAFD BEC VA1 BEC1B1 VA1 FEC1D1222 212 2(12)12 132 12
17、2 .12 13 83答案 B2(2018合肥联考)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为( )16A24 B29 C48 D58解析 如图，在 324 的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥 A BCD)，其外接球即为长方体的外接球，表面积为 4 R2(3 22 24 2)29.答案 B专题跟踪训练(二十一)一、选择题1(2017北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )17A3 B2 C2 D22 3 2解析 由三视图得该四棱锥的直观图如图中 S ABCD 所示，由图可知，其最长棱为SD，且底面 AB
18、CD 是边长为 2 的正方形， SB面 ABCD， SB2，所以 SD 2 .故22 22 22 3选 B.答案 B2(2018益阳、湘潭高三调考)如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( )18A. B. C. D423 43 83解析 由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥 A PBC(放到棱长为 2 的正方体中)，则 VA PBC S PBCAB 222 .故选 B.13 13 12 43答案 B3(2018辽宁五校联考)一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )19A36 B48 C64 D72
19、解析 由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为 344 34448，故选 B.12 12答案 B4(2018广东七校联考)某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是( )20A13 B16 C25 D27解析 由三视图知该几何体是一个底面为正方形的长方体，由正视图知该长方体的底面正方形的对角线长为 4，所以底面边长为 2 ，由侧视图知该长方体的高为 3，设该几2何体的外接球的半径为 R，则 2R 5，解得 R ，所以该几何体的222 222 3252外接球的表面积 S4 R24 25，故选 C.254答案 C5(2018洛阳市
20、高三第一次联考)已知球 O 与棱长为 4 的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为( )A. B. C. D. 823 833 863 1623解析 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体相应面上的对角线，因为正四面体的棱长为 4，所以正方体的棱长为 2 .因为球 O 与正四面体的各棱都相切，所以2球 O 为正方体的内切球，即球 O 的直径为正方体的棱长，其长为 2 ，则球 O 的体积2V R3 ，故选 A.43 823答案 A6(2018河北第二次质检)九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载， “堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，
21、剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是( )21A50 B75 C25.5 D37.5解析 由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥所得的，且直三棱柱的底面是腰长为 5 的等腰直角三角形，高为 5.如图，图中几何体ABCC1MN 为剩余部分，因为 AM2， B1C1平面 MNB1A1，所以剩余部分的体积 V V 三棱柱 V四棱锥 555 35537.5，故选 D.12 13答案 D7(2018广东广州调研)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )22A44 2 B1442 3 2C104 2 D42 3解
22、析 如图，该几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥S ABCD.连接 AC，因为 AC 2 ， SC 2 ， SD SB 222 42 5 252 22 6 22 22， CD 2 ， SB2 BC2(2 )24 224 SC2，故 SCD 为等腰三角形， SCB2 22 22 2 2为直角三角形过 D 作 DK SC 于点 K，则 DK ， SCD 的面积为222 62 2 2 2 ， SBC 的面积为 2 44 .所求几何体的表面积为 (24)12 2 6 3 12 2 2 1222 224 2 104 2 ，选 C.12 2 3 2 3答案 C8(2018河南濮阳二模)
23、已知三棱锥 A BCD 中， ABD 与 BCD 是边长为 2 的等边三角形且二面角 A BD C 为直二面角，则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为( )A. B5 C6 D.103 203解析 取 BD 中点 M，连接 AM， CM，取 ABD， CBD 的中心即 AM， CM 的三等分点23P， Q，过 P 作面 ABD 的垂线，过 Q 作面 CBD 的垂线，两垂线相交于点 O，则点 O 为外接球的球心，其中 OQ ， CQ ，连接 OC，则外接球的半径 R OC ，表面积为33 233 1534 R2 ，故选 D.203答案 D9(2018广东揭阳一模)某几何体三视图如图所示，则此几
24、何体的表面积为( )A416 B2( 2)162C48 D2( 2)82解析 由三视图知，该几何体是一个棱长为 2 的正方体和一个底面半径为 、高为21 的圆柱的组合体，其表面积 S 表 52 22 12( )22 22( 2)16.故2 2 2选 B答案 B10(2018福建福州质检)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为( )24A64 B648323C64 D64163 83解析 由三视图可知该几何体是由棱长为 4 的正方体截去 个圆锥和 个圆柱所得到14 14的，且圆锥的底面半径为 2，高为 4，圆柱的底面半径为
25、 2，高为 4，所以该几何体的体积为 43 64 .故选 C.14( 344 44) 163答案 C11(2018湖南十三校联考)三棱锥 S ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如下图所示，则该三棱锥 S ABC 的外接球的表面积为( )A32 B. 1123C. D. 283 643解析 设外接球的半径为 r，球心为 O.由正视图和侧视图可知，该三棱锥 S ABC 的底面是边长为 4 的正三角形所以球心 O 一定在 ABC 的外心上方记球心 O 在平面 ABC25上的投影点为点 D，所以 AD BD CD4 ，则由题可建立方程 32 23 433 r2 (433)24，解得 r2 .所以该三
26、棱锥 S ABC 的外接球的表面积 S4 r2 .r2 (433)2 283 1123故选 B.答案 B12(2018中原名校联考)已知 A， B， C， D 是球 O 表面上四点，点 E 为 BC 的中点，点 AE BC， DE BC， AED120， AE DE ， BC2，则球 O 的表面积为( )3A. B.73 283C4 D16解析 由题意可知 ABC 与 BCD 都是边长为 2 的正三角形，如图，过 ABC 与BCD 的外心 M， N 分别作面 ABC、面 BCD 的垂线，两垂线的交点就是球心 O.连接 OE，可知 MEO NEO AED60，12在 Rt OME 中， MEO6
27、0， ME ，所以 OE2 ME ，连接 OB，所以球 O 的半33 233径 R OB ，所以球 O 的表面积为 S4 R2 ，故选 B.OE2 BE2 (233)2 12 213 283答案 B二、填空题13(2018沈阳质检)三棱锥 P ABC 中， D， E 分别为 PB， PC 的中点，记三棱锥D ABE 的体积为 V1， P ABC 的体积为 V2，则 的值为_V1V2解析 如图，设 S ABD S1， S PAB S2， E 到平面 ABD 的距离为 h1， C 到平面 PAB 的距离为 h2，则 S22 S1， h22 h1， V1 S1h1， V2 S2h2，所以 .13 1
28、3 V1V2 S1h1S2h2 1426答案 1414(2018宁夏银川一中模拟)如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为_解析 由三视图知，该几何体是一个高为 2，底面直径为 2 的圆柱被一平面从上底面最右边缘斜向下 45切开所剩下的几何体，其体积为对应的圆柱的体积的一半，即V 1 22.故答案为 .12答案 15已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为_27解析 依题意知，几何体是如图所示的三棱锥 A BCD.其中 CBD120， BD2，点 C 到直线 BD 的距离为 ， BC2， CD2 ， AB2， AB平面 BCD，因此3 3AC AD2 ，所以该几何体最长的棱长为 2 .2 3答案 2 .316(2018厦门一模)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为_28解析 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长、宽、高分别为 4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为 1，高为 1，所以表面积为 S S 长方体表 S半圆柱底 S 圆柱轴截面 S 半圆柱侧2412122421 221 2126.12答案 26
