1、1专题跟踪训练(二十二) 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1(2018中原名校联盟联考)已知 m和 n是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出 m 的是( )A 且 m B 且 m C m n且 n D m n且 n 解析 对于选项 A， 且 m ，可得 m 或 m与 相交或 m ，故 A不成立；对于选项 B， 且 m ，可得 m 或 m 或 m与 相交，故 B不成立；对于选项 C， m n且 n ，则 m ，故 C正确；对于选项 D，由 m n且 n ，可得m 或 m与 相交或 m ，故 D不成立故选 C.答案 C2已知直线 m， l与平面 ， ， 满足
2、l， l ， m ， m ，则下列命题一定正确的是( )A 且 l m B 且 m C m 且 l m D 且 解析 m ， m ， .又 l， l ， l m.故选 A.答案 A3(2018内蒙古赤峰模拟)已知三条不重合的直线 m， n， l和两个不重合的平面 ， ，下列命题中正确命题的个数为( )若 m n， n ，则 m ；若 l ， m 且 l m，则 ；若 l n， m n，则 l m；若 ， m， n ， n m，则 n .A1 B2 C3 D4解析 若 m n， n ，则 m 或 m ，不正确；若 l ， m ，且l m，由面面垂直的判定定理可得 ，正确；若 l n， m n，则
3、 l与 m平行、相交或为异面直线，不正确；若 ， m， n ， n m，由面面垂直的性质定理得 n ，因此正确综上可知只有正确故选 B.答案 B4原创题如图所示，三棱锥 P ABC中， PA平面 ABC， D是棱 PB的中点，已知PA BC2， AB4， CB AB，则异面直线 PC， AD所成角的余弦值为( )2A B.3010 305C D.305 3010解析 如图所示，取 BC的中点 E，连接 DE， AE.则在 PBC中， PD DB， BE EC，所以 DE PC，且 DE PC.故 EDA为异面直线 PC， AD所成的角或其补角因为 PA平面12ABC，所以 PA AC， PA
4、AB.在 Rt ABC中， AC 2 ；在 Rt PACBC2 BA2 22 42 5中， PC 2 .故 DE PC .在 Rt PAB中， PBPA2 AC2 22 25 2 612 6 2 ；又 PD DB，所以 AD PB .在 Rt EAB中， AEAB2 PA2 42 22 512 5 .在 DAE中，cos ADE AB2 BE2 42 12 17AD2 DE2 AE22ADDE .设异面直线 PC， AD所成的角为 ，则 5 2 6 2 17 2256 3010cos |cos ADE| .故选 D.3010答案 D5(2018温州十校联考)如图，点 E为正方形 ABCD边 C
5、D上异于点 C， D的动点，将 ADE沿 AE翻折成 SAE，使得平面 SAE平面 ABCE，则下列三种说法中正确的个数是( )3存在点 E使得直线 SA平面 SBC；平面 SBC内存在直线与 SA平行；平面 ABCE内存在直线与平面 SAE平行A0 B1 C2 D3解析 由题图，得 SA SE，若存在点 E使得直线 SA平面 SBC，则SA SB， SA SC，则 SC， SB， SE三线共面，则点 E与点 C重合，与题设矛盾，故错误；因为 SA与平面 SBC相交，所以在平面 SBC内不存在直线与 SA平行，故错误；显然，在平面 ABCE内，存在直线与 AE平行，由线面平行的判定定理得平面
6、ABCE内存在直线与平面SAE平行，故正确选 B.答案 B6(2018河北五校联考)在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB AD4， AA12.过点 A1作平面 与 AB， AD分别交于 M， N两点，若 AA1与平面 所成的角为 45，则截面 A1MN面积的最小值是( )A2 B4 C4 D83 2 6 2解析 如图，过点 A作 AE MN，连接 A1E， A1A平面 ABCD， A1A MN，又 A1A AE A， MN平面 A1AE， A1E MN，平面A1AE平面 A1MN， AA1E为 AA1与平面 A1MN所成的角， AA1E45，在 Rt A1AE中， AA12， AE2
7、， A1E2 ，在 Rt MAN中，由2射影定理得 MEEN AE24，由基本不等式得 MN ME EN2 4，当且仅当MEEN4ME EN，即 E为 MN的中点时等号成立，截面 A1MN面积的最小值为 42 4 ，故12 2 2选 B.答案 B二、填空题7(2018定州二模)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB2， E为 AD的中点，点F在 CD上，若 EF平面 AB1C，则 EF_.解析 根据题意，因为 EF平面 AB1C， EF平面 ABCD，平面 ABCD平面AB1C AC，所以 EF AC.又 E是 AD的中点，所以 F是 CD的中点因为在 Rt DEF中，DE DF
8、1，故 EF .2答案 28过三棱柱 ABC A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1平行的直线共有_条解析 过三棱柱 ABC A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1平行的直线只可能落在平面 DEFG中(其中 D、 E、 F、 G分别为 AC， BC， B1C1， A1C1的中点)易知经过 D、 E、 F、 G中任意两点的直线共有 C 6 条24答案 659.(2018山东烟台二模)如图是一张矩形白纸 ABCD， AB10， AD10 ， E， F分别为2AD， BC的中点，现分别将 ABE， CDF沿 BE， DF折起，且 A、 C在平面 BFD
9、E同侧，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的序号)当平面 ABE平面 CDF时， AC平面 BFDE；当平面 ABE平面 CDF时， AE CD；当 A、 C重合于点 P时， PG PD；当 A、 C重合于点 P时，三棱锥 P DEF的外接球的表面积为 150.解析 在 ABE中，tan ABE ，在 ACD中，tan CAD ，所以22 22 ABE DAC，由题意，将 ABE， DCF沿 BE， DF折起，且 A， C在平面 BEDF同侧，此时 A、 C、 G、 H四点在同一平面内，平面 ABE平面 AGHC AG，平面 CDF平面 AGHC CH，当平面 ABE平面 CDF时，得到 A
10、G CH，显然 AG CH，所以四边形 AGHC为平行四边形，所以 AC GH，进而可得 AC平面 BFDE，故正确；由于折叠后，直线 AE与直线 CD为异面直线，所以 AE与 CD不平行，故不正确；当 A、 C重合于点 P时，可得PG ， PD10，又 GD 10， PG2 PD2 GD2，所以 PG与 PD不垂直，故不正确；当1033A， C重合于点 P时，在三棱锥 P DEF中， EFD与 FCD均为直角三角形，所以 DF为外接球的直径，即 R ，所以外接球的表面积为 S4 R24 2150，故DF2 562 (562)正确综上，正确命题的序号为.答案 三、解答题10.(2018河南洛阳
11、一模)如图，在四棱锥 E ABCD中， EAD为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足 AB CD， AD DC AB，且 AE BD.126(1)证明：平面 EBD平面 EAD；(2)若 EAD的面积为 ，求点 C到平面 EBD的距离3解 (1)证明：如图，取 AB的中点 M，连接 DM，则由题意可知四边形 BCDM为平行四边形， DM CB AD AB，12即点 D在以线段 AB为直径的圆上， BD AD，又 AE BD，且 AE AD A， BD平面 EAD. BD平面 EBD，平面 EBD平面 EAD.(2) BD平面 EAD，且 BD平面 ABCD，平面 ABCD平面 EAD.等边
12、 EAD的面积为 ， AD AE ED2，3取 AD的中点 O，连接 EO，则 EO AD， EO ，3平面 EAD平面 ABCD，平面 EAD平面 ABCD AD， EO平面 ABCD.由(1)知 ABD， EBD都是直角三角形， BD 2 ，AB2 AD2 3S EBD EDBD2 ，12 37设点 C到平面 EBD的距离为 h，由 VC EBD VE BCD，得 S EBDh S BCDEO，13 13又 S BCD BCCDsin120 ，12 3 h .32点 C到平面 EBD的距离为 .3211(2018南昌摸底)在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 ABB1A1为矩形，AB1，
13、 AA1 ， D为 AA1的中点， BD与 AB1交于点 O， CO侧面 ABB1A1.2(1)证明： BC AB1；(2)若 OC OA，求直线 C1D与平面 ABC所成角的正弦值解 (1)证明：由题意，tan ABD ，ADAB 22tan AB1B ，ABBB1 22由图可知 0 ABD， AB1B ，2所以 ABD AB1B，所以 ABD BAB1 AB1B BAB1 ，2所以 AB1 BD，又 CO侧面 ABB1A1， AB1 CO.8又 BD与 CO交于点 O，所以 AB1平面 CBD，又因为 BC平面 CBD，所以 BC AB1.(2)如图，以 O为原点，分别以 OD， OB1，
14、 OC所在的直线为 x， y， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz，则 A ，(0， 33， 0)B ，(63， 0， 0)C ，(0， 0，33)B1 ， D ，(0，233， 0) (66， 0， 0)又因为 2 ，所以 C1 .CC1 AD (63， 233， 33)所以 ， ，AB ( 63， 33， 0) AC (0， 33， 33) .DC1 (66， 233， 33)设平面 ABC的法向量为 n( x， y， z)，则根据Error! 可得Error!令 x1，则 y ， z ，2 2所以 n(1， ， )是平面 ABC的一个法向量，设直线 C1D与平面 ABC所成角
15、为2 2 ，9则 sin .|DC1 n|DC1 |n| 3555512(2018贵阳监测)如图所示，该几何体由一个直三棱柱 ADE BCF和一个正四棱锥P ABCD组合而成， AD AF， AE AD2.(1)证明：平面 PAD平面 ABFE；(2)若正四棱锥 P ABCD的高为 1，求二面角 C AF P的余弦值解 (1)证明：直三棱柱 ADE BCF中， AB平面 ADE， AB AD，又 AD AF， AB AF A， AD平面 ABFE， AD平面 PAD，平面 PAD平面 ABFE.(2) AD BC， AD平面 ABFE， BC平面 ABFE，且 AB BF，建立以 B为坐标原点
16、，BA， BF， BC所在直线分别为 x轴， y轴， z轴的空间直角坐标系，如图所示正四棱锥 P ABCD的高为 1， AE AD2， A(2,0,0)， E(2,2,0)， F(0,2,0)， C(0,0,2)， P(1，1,1)，10 (2,2,0)， (0,2，2)， (1,1，1)，AF CF PA 设 n1( x1,1， z1)是平面 ACF的一个法向量，则 n1 ， n1 ，AF CF Error! 即Error!解得 x11， z11，即 n1(1,1,1)设 n2( x2,1， z2)是平面 PAF的一个法向量，则n2 ， n2 ，AF PA Error! 即Error!解得 x21， z22，即 n2(1,1,2)cos n1， n2 ，n1n2|n1|n2| 1 1 236 223又二面角 C AF P是锐角，二面角 C AF P的余弦值是 .223
