1、1专题跟踪训练(二十一) 空间几何体的三视图、表面积与体积一、选择题1(2017北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A3 B2 C2 D22 3 2解析 由三视图得该四棱锥的直观图如图中 S ABCD所示，由图可知，其最长棱为SD，且底面 ABCD是边长为 2的正方形， SB面 ABCD， SB2，所以 SD 2 .故22 22 22 3选 B.答案 B2(2018益阳、湘潭高三调考)如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( )2A. B. C. D423 43 83解析 由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥 A
2、 PBC(放到棱长为 2的正方体中)，则 VA PBC S PBCAB 222 .故选 B.13 13 12 43答案 B3(2018辽宁五校联考)一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )3A36 B48 C64 D72解析 由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为 344 34448，故选 B.12 12答案 B4(2018广东七校联考)某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是( )4A13 B16 C25 D27解析 由三视图知该几何体是一个底面为正方形的长方体，由正视图知该长
3、方体的底面正方形的对角线长为 4，所以底面边长为 2 ，由侧视图知该长方体的高为 3，设该几2何体的外接球的半径为 R，则 2R 5，解得 R ，所以该几何 22 2 22 2 3252体的外接球的表面积 S4 R24 25，故选 C.254答案 C5(2018洛阳市高三第一次联考)已知球 O与棱长为 4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为( )A. B. C. D. 823 833 863 1623解析 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体相应面上的对角线，因为正四面体的棱长为 4，所以正方体的棱长为 2 .因为球 O与正四面体的各棱都相切，所以2球 O为正方体的内切球，即球 O的直
4、径为正方体的棱长，其长为 2 ，则球 O的体积2V R3 ，故选 A.43 823答案 A6(2018河北第二次质检)九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载， “堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是( )5A50 B75 C25.5 D37.5解析 由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥所得的，且直三棱柱的底面是腰长为 5的等腰直角三角形，高为 5.如图，图中几何体ABCC1MN为剩余部分，因为 AM2， B1C1平面 MNB1A1，所以剩余部分的体积 V V 三
5、棱柱 V四棱锥 555 35537.5，故选 D.12 13答案 D7(2018广东广州调研)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )6A44 2 B1442 3 2C104 2 D42 3解析 如图，该几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥S ABCD.连接 AC，因为AC 2 ， SC 2 ， SD SB 2 ， CD 222 42 5 25 2 22 6 22 22 2 22 22， SB2 BC2(2 )24 224 SC2，故 SCD为等腰三角形， SCB为直角三角形过 D2 2作 DK SC于点 K，则 DK
6、， SCD的面积为 22 2 6 2 2 2 2 ， SBC的面积为 2 44 .所求几何体的表面积为 (24)12 2 6 3 12 2 2 1222 224 2 104 2 ，选 C.12 2 3 2 3答案 C8(2018河南濮阳二模)已知三棱锥 A BCD中， ABD与 BCD是边长为 2的等边三角形且二面角 A BD C为直二面角，则三棱锥 A BCD的外接球的表面积为( )A. B5 C6 D.103 2037解析 取 BD中点 M，连接 AM， CM，取 ABD， CBD的中心即 AM， CM的三等分点P， Q，过 P作面 ABD的垂线，过 Q作面 CBD的垂线，两垂线相交于点
7、O，则点 O为外接球的球心，其中 OQ ， CQ ，连接 OC，则外接球的半径 R OC ，表面积为33 233 1534 R2 ，故选 D.203答案 D9(2018广东揭阳一模)某几何体三视图如图所示，则此几何体的表面积为( )A416 B2( 2)162C48 D2( 2)82解析 由三视图知，该几何体是一个棱长为 2的正方体和一个底面半径为 、高为21的圆柱的组合体，其表面积 S 表 52 22 12( )22 22( 2)16.故2 2 2选 B答案 B10(2018福建福州质检)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几8何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何
8、体的体积为( )A64 B648323C64 D64163 83解析 由三视图可知该几何体是由棱长为 4的正方体截去 个圆锥和 个圆柱所得到14 14的，且圆锥的底面半径为 2，高为 4，圆柱的底面半径为 2，高为 4，所以该几何体的体积为 43 64 .故选 C.14(344 44) 163答案 C11(2018湖南十三校联考)三棱锥 S ABC及其三视图中的正视图和侧视图如下图所示，则该三棱锥 S ABC的外接球的表面积为( )A32 B. 1123C. D. 283 643解析 设外接球的半径为 r，球心为 O.由正视图和侧视图可知，该三棱锥 S ABC的9底面是边长为 4的正三角形所以
9、球心 O一定在 ABC的外心上方记球心 O在平面 ABC上的投影点为点 D，所以 AD BD CD4 ，则由题可建立方程 32 23 433 r2 (433)24，解得 r2 .所以该三棱锥 S ABC的外接球的表面积 S4 r2 .r2 (433)2 283 1123故选 B.答案 B12(2018中原名校联考)已知 A， B， C， D是球 O表面上四点，点 E为 BC的中点，点 AE BC， DE BC， AED120， AE DE ， BC2，则球 O的表面积为( )3A. B.73 283C4 D16解析 由题意可知 ABC与 BCD都是边长为 2的正三角形，如图，过 ABC与BCD
10、的外心 M， N分别作面 ABC、面 BCD的垂线，两垂线的交点就是球心 O.连接 OE，可知 MEO NEO AED60，12在 Rt OME中， MEO60， ME ，所以 OE2 ME ，连接 OB，所以球 O的半33 233径 R OB ，所以球 O的表面积为 S4 R2 ，故选 B.OE2 BE2 (233)2 12 213 283答案 B二、填空题13(2018沈阳质检)三棱锥 P ABC中， D， E分别为 PB， PC的中点，记三棱锥D ABE的体积为 V1， P ABC的体积为 V2，则 的值为_V1V2解析 如图，设 S ABD S1， S PAB S2， E到平面 ABD
11、的距离为 h1， C到平面 PAB的10距离为 h2，则 S22 S1， h22 h1， V1 S1h1， V2 S2h2，所以 .13 13 V1V2 S1h1S2h2 14答案 1414(2018宁夏银川一中模拟)如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为_解析 由三视图知，该几何体是一个高为 2，底面直径为 2的圆柱被一平面从上底面最右边缘斜向下 45切开所剩下的几何体，其体积为对应的圆柱的体积的一半，即V 1 22.故答案为 .12答案 15已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为_11解析 依题意知，几何体是如图所示的三棱锥 A BCD.其中 CBD120， BD2，点 C到直线 BD的距离为 ， BC2， CD2 ， AB2， AB平面 BCD，因此3 3AC AD2 ，所以该几何体最长的棱长为 2 .2 3答案 2 .316(2018厦门一模)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为_12解析 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长、宽、高分别为 4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为 1，高为 1，所以表面积为 S S 长方体表 S半圆柱底 S 圆柱轴截面 S 半圆柱侧2412122421 221 2126.12答案 26
