1、1专题跟踪训练(十六) 平面向量一、选择题1(2018昆明模拟)在 ABC 中，点 D， E 分别在边 BC， AC 上，且2 ， 3 ，若 a， b，则 ( )BD DC CE EA AB AC DE A. a b B. a b13 512 13 1312C a b D a b13 512 13 1312解析 DE DC CE 13BC 34CA ( )13AC AB 34AC a b，故选 C.13AB 512AC 13 512答案 C2(2018吉林白城模拟)已知向量 a(2,3)， b(1,2)，若 ma nb 与 a2 b 共线，则 ( )mnA. B2 C D212 12解析 由向
2、量 a(2,3)， b(1,2)，得 ma nb(2 m n,3m2 n)，a2 b(4，1)由 ma nb 与 a2 b 共线，得 ，所以 ，故选 C.2m n4 3m 2n 1 mn 12答案 C3已知两个非零向量 a 与 b 的夹角为 ，则“ ab0”是“ 为锐角”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件2C充要条件D既不充分也不必要条件解析 由 ab0，可得到 ，不能得到 ；而由 ，0， 2) (0， 2) (0， 2)可以得到 ab0.故选 B.答案 B4(2018郑州一中高三测试)已知向量 a， b 均为单位向量，若它们的夹角为 60，则| a3 b|等于( )A. B. C. D
3、47 10 13解析 依题意得 ab ，| a3 b| ，故选 C.12 a2 9b2 6ab 13答案 C5已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，则( 2 )(3 4 )( )AB BC BC CA A B132 112C6 D632 32解析 ( 2 )(3 4 )AB BC BC CA 3 6 24 8 3| | |cos120AB BC BC AB CA BC CA AB BC 6| |24| | |cos1208| | |cos120BC AB CA BC CA 311 61 2411 811 624 ，故选(12) ( 12) ( 12) 32 112B.答案 B6(2018河
4、南中原名校联考)如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O， E 为 AO 的中点，若 ( ， 为实数)，则 2 2( )DE AB AD 3A. B. C1 D.58 14 516解析 ( ) ，所以DE 12DA 12DO 12DA 14DB 12DA 14DA AB 14AB 34AD ， ，故 2 2 ，故选 A.14 34 58答案 A7(2018山西四校联考)如图，在直角梯形 ABCD 中， AB2 AD2 DC， E 为 BC 边上一点， 3 ， F 为 AE 的中点，则 ( )BC EC BF A. B. 23AB 13AD 13AB 23AD C D 23AB 13AD
5、13AB 23AD 解析 解法一：如图，取 AB 的中点 G，连接 DG、 CG，则易知四边形 DCBG 为平行四边形，所以 ， BC GD AD AG AD 12AB AE AB BE AB 23BC AB 23(AD 12AB ) 23AB ，于是 ，故选 C.23AD BF AF AB 12AE AB 12(23AB 23AD ) AB 23AB 13AD 解法二： BF BA AF BA 12AE AB 12(AD 12AB CE ) AB 12(AD 12AB 13CB )4 ( )AB 12AD 14AB 16CD DA AB .23AB 13AD 答案 C8(2018河南郑州二模
6、)已知平面向量 a， b， c 满足| a| b| c|1，若ab ，则( a b)(2b c)的最小值为( )12A2 B3 C1 D03解析 由| a| b|1， ab ，可得 a， b ，令 a， b，以 的方12 3 OA OB OA 向为 x 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则 a (1,0)， b ，OA OB (12， 32)设 c (cos ，sin )(0 2)，则( a b)(2b c)OC 2 ab ac2 b2 bc3 3 sin ，则(cos 12cos 32sin ) 3 ( 3)(a b)(2b c)的最小值为 3 ，故选 B.3答案 B9(2018安徽江
7、南十校联考)已知 ABC 中， AB6， AC3， N 是边 BC 上的点，且2 ， O 为 ABC 的外心，则 的值为( )BN NC AN AO A8 B10 C18 D9解析 由于 2 ，则 ，取 AB 的中点为 E，连接 OE，由于 O 为 ABCBN NC AN 13AB 23AC 的外心，则 ， 2 6218，同理可EO AB AO AB (12AB EO ) AB 12AB 12得 2 32 ，所AC AO 12AC 12 925以 18 639，故选 D.AN AO (13AB 23AC ) AO 13AB AO 23AC AO 13 23 92答案 D10(2018山西太原模
8、拟)已知 DEF 的外接圆的圆心为 O，半径 R4，如果 0，且| | |，则向量 在 方向上的投影为( )OD DE DF OD DF EF FD A6 B6 C2 D23 3解析 由 0 得， .OD DE DF DO DE DF DO 经过 EF 的中点， DO EF.连接 OF，| | | |4，OF OD DF DOF 为等边三角形， ODF60. DFE30，且 EF4sin6024 .3向量 在 方向上的投影为| |cos ， 4 cos1506，故选 B.EF FD EF EF FD 3答案 B11(2018湖北黄冈二模)已知平面向量 a， b， c 满足| a| b|1， a
9、( a2 b)，(c2 a)(c b)0，则| c|的最大值与最小值的和为( )A0 B. C. D.3 2 7解析 a( a2 b)， a(a2 b)0，即 a22 ab，又|a| b|1， ab ， a 与 b 的夹角为 60.12设 a， b， c，以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向建立如图所示的平OA OB OC OB 面直角坐标系，则 a ， b(1,0)(12， 32)设 c( x， y)，则 c2 a( x1， y )， c b( x1， y)3又( c2 a)(c b)0，( x1) 2 y(y )0.36即( x1) 2 2 ，(y32) 34点 C 的轨迹是以点
10、M 为圆心， 为半径的圆(1，32) 32又| c| 表示圆 M 上的点与原点 O(0,0)之间的距离，所以x2 y2|c|max| OM| ，| c|min| OM| ，32 32| c|max| c|min2| OM|2 12 (32)2 ，故选 D.7答案 D12(2018广东七校联考)在等腰直角 ABC 中， ABC90， AB BC2， M， N 为AC 边上的两个动点( M， N 不与 A， C 重合)，且满足| | ，则 的取值范围为( )MN 2 BM BN A. B.32， 2 (32， 2)C. D.32， 2) 32， )解析 不妨设点 M 靠近点 A，点 N 靠近点 C
11、，以等腰直角三角形 ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 B(0,0)， A(0,2)， C(2,0)，线段 AC 的方程为 x y20(0 x2)设 M(a,2 a)，N(a1,1 a)(由题意可知 0a1)， ( a,2 a)， ( a1,1 a)，BM BN a(a1)(2 a)(1 a)2 a22 a22 2 ，0 a1，由二次函数BM BN (a 12) 32的知识可得 .BM BN 32， 2)答案 C二、填空题13(2017全国卷)已知向量 a， b 的夹角为 60，| a|2，| b|1，则|a2 b|_.7解析 由题意知 ab| a|b|cos60
12、21 1，则| a2 b|2( a2 b)122| a|24| b|24 ab44412.所以| a2 b|2 .3答案 2 314(2017山东卷)已知 e1， e2是互相垂直的单位向量，若 e1 e2与 e1 e2的夹3角为 60，则实数 的值是_解析 ( e1 e2)(e1 e2)3 e e1e2 e1e2 e ，| e1 e2| 321 3 2 3 3 3e1 e2 22，3e21 23e1e2 e2|e1 e2| ， e1 e2 2 e21 2 e1e2 2e2 1 2 2 cos60 ，解得 .3 1 2 1 233答案 3315在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且
13、 3 ，点 O 在线段 CD 上(与点BC CD C、 D 不重合)，若 x (1 x) ，则 x 的取值范围是_AO AB AC 解析 依题意，设 ，其中 1 ，则有 (BO BC 43 AO AB BO AB BC AB )(1 ) .AC AB AB AC 又 x (1 x) ，且 ， 不共线，于是有 x1 ，由 ，知 xAO AB AC AB AC (1， 43)，即 x 的取值范围是 .(13， 0) ( 13， 0)答案 (13， 0)16(2018河北衡水二中模拟)已知在直角梯形 ABCD 中，AB AD2 CD2， AB CD， ADC90，若点 M 在线段 AC 上，则| |的最小值为MB MD _解析 建立如图所示的平面直角坐标系8则 A(0,0)， B(2,0)， C(1,2)， D(0,2)，设 (0 1)，则 M( ，2 )，故AM AC ( ，22 )， (2 ，2 )，则 (22 ，24 )，| |MD MB MB MD MB MD ，当 时，| |取得最小值为 . 2 2 2 2 4 220( 35)2 45 35 MB MD 255答案 255
