1、1第二讲 算法、复数、推理与证明考点一 复数的概念与运算1复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类项，不含 i 的看作另一类项，分别合并同类项即可2复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把 i 的幂写成最简形式复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化” ，其实质就是“分母实数化”3复数运算中常见的结论(1)(1i)22i， i， i；1 i1 i 1 i1 i(2)i4n1，i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i；(3)i4ni 4n1 i 4n2 i 4n3 0.对点训练1(2018全国卷)设 z 2i，则| z|
2、( )1 i1 iA0 B 122C1 D 2解析 z 2i 2ii，| z|1，故选 C1 i21 i1 i 1 2i 12答案 C2(2018安徽安庆二模)已知复数 z 满足：(2i) z1i，其中 i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( )A i B i15 35 15 35C i D i13 13解析 由(2i) z1i，得 z i， i.故选1 i2 i 1 i2 i2 i2 i 15 35 z 15 35B答案 B3(2018安徽马鞍山二模)已知复数 z 满足 zi34i，则复数 z 在复平面内对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析 由 zi34i，得 z
3、 43i，复数 z 在复平面内对3 4ii 3 4i i i2应的点的坐标为(4，3)，该点位于第四象限故选 D答案 D4(2018江西师大附中、临川一中联考)若复数 z ， 为 z 的共轭复数，则(1 i1 i z )2017( )z Ai Bi C2 2017i D2 2017i解析 由题意知 z i，可得 i，则( )2017(i) 41 i1 i 1 i21 i1 i z z 504(i)i.故选 B答案 B快速审题 (1)看到题目的虚数单位 i，想到 i 运算的周期性；看到 z ，想到公z 式 z | z|2| |2.z z (2)看到复数的除法，想到把分母实数化处理，即分子、分母同
4、时乘以分母的共轭复数，3再利用乘法法则化简复数问题的解题思路以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题考点二 程序框图1当需要对研究的对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构2注意直到型循环和当型循环的本质区别：直到型循环是先执行再判断，直到满足条件才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件，则进入循环体，否则结束循环3循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等对点训练1执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是 4，则常数 a 的值为( )A4 B2 C
5、D1124解析 S 和 n 依次循环的结果如下： S ， n2； S1 ， n4.所以11 a 1a1 2， a1.故选 D1a答案 D2若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 i 的值为( )A4 B5 C6 D7解析 根据程序框图，程序执行中的数据变化如下：n12， i1； n6， i2；65； n3， i3；35； n10， i4；105； n5， i5；55 成立，程序结束，输出 i5.故选 B答案 B3(2018全国卷)为计算 S1 ，设计了下面的程序框图，12 13 14 199 1100则在空白框中应填入( )5A i i1 B i i2C i i3 D i i4解析 S1
6、，当不12 13 14 199 1100 (1 13 15 199) (12 14 1100)满足判断框内的条件时， S N T，所以 N1 ， T ，所以13 15 199 12 14 1100空白框中应填入 i i2.故选 B答案 B4执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值是_解析 由程序框图可知，6n1， S0； Scos ， n2； Scos cos ， n3； Scos cos cos 4 4 24 4 24cos 251 cos cos cos 34 20144 (cos 4 cos24 cos84) 4 24 642510 0 (1) 01 ， n2015，输出 S.22 (
7、22) ( 22) 22答案 122快速审题 (1)看到循环结构，想到循环体的结构；看到判断框，想到程序什么时候开始和终止(2)看到根据程序框图判断程序执行的功能，想到依次执行 n 次循环体，根据结果判断(3)看到求输入的值，想到利用程序框图得出其算法功能，找出输出值与输入值之间的关系，逆推得输入值求解程序框图 2 类常考问题的解题技巧(1)程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出
8、每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件(2)程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“ in？”或“ i20，退出循环，输出 S 的值为 54.故选 B答案 B8(2018广东茂名一模)执行如图所示的程序框图，那么输出的 S 值是( )16A B1 12C2008 D2解析 模拟程序的运行，可知S2， k0； S1， k1； S ， k2； S2， k3；，可见 S 的值每 3 个一循环，12易知 k2008 对应的 S 值是第 2009 个，又 200936692，输出的 S 值是1，故选B答案 B9(2018湖南长沙模拟)如图，给
9、出的是计算 1 的值的一个程序框14 17 1100图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A i100， n n1 B i34， n n3 D i34， n n3解析 算法的功能是计算 1 的值，易知 1,4,7，100 成等差数14 17 1100列，公差为 3，所以执行框中(2)处应为 n n3，令 1( i1)3100，解得 i34，终止程序运行的 i 值为 35，判断框内(1)处应为 i34，故选 C答案 C10(2018武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中” ；乙说：“我没有作案，是丙
10、偷的” ；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷” ；丁说：“乙说的是事实” 经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯17是( )A甲 B乙 C丙 D丁解析 由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯答案 B11(2018昆明七校调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出 S 的值为 1，则判断框内为( )A i6?
11、B i5?C i3? D i4?解析 依题意，执行程序框图，进行第一次循环时， S1(31)13， i112；进行第二次循环时， S3(32)14， i213；进行第三次循环时， S4(33)11， i4，因此当输出的 S 的值为 1 时，判断框内为“i4？” ，选 D答案 D12(2018吉林一模)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5 世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” 意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等现有以下四个几何体：图是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图、18图、图
12、分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )A BC D解析 设截面与底面的距离为 h，则中截面内圆的半径为 h，则截面圆环的面积为( R2 h2)；中截面圆的半径为 R h，则截面圆的面积为 ( R h)2；中截面圆的半径为 R ，则截面圆的面积为 ( R )2；中截面圆的半径为 ，则截面圆的面积为h2 h2 R2 h2( R2 h2)所以中截面的面积相等，故其体积相等，选 D答案 D二、填空题13i 是虚数单位，若复数(12i)( ai)是纯虚数，则实数 a 的值为_解析 (12i)( ai)2 a(12 a)i 为纯虚数，Error!解得 a2.答案 214如图是一个三角形
13、数阵：按照以上排列的规律，第 16 行从左到右的第 2 个数为_解析 前 15 行共有 120(个)数，故所求的数为 a122 .1515 12 12122 1 1243答案 12431915(2018河南三市联考)执行如图所示的程序框图，如果输入 m30， n18，则输出的 m 的值为_解析 如果输入 m30， n18，第一次执行循环体后， r12， m18， n12，不满足输出条件；第二次执行循环体后， r6， m12， n6，不满足输出条件；第三次执行循环体后， r0， m6， n0，满足输出条件，故输出的 m 值为 6.答案 616 “求方程 x x1 的解” ，有如下解题思路：设 f(x) x x，则 f(x)(513) (1213) (513) (1213)在 R 上单调递减，且 f(2)1，所以原方程有唯一解 x2，类比上述解题思路，可得不等式 x6( x2)( x2) 3 x2的解集是_解析 因为 x6( x2)( x2) 3 x2，所以 x6 x2(x2) 3( x2)，所以( x2)3 x2(x2) 3( x2)令 f(x) x3 x，所以不等式可转化为 f(x2)f(x2)因为 f(x)在 R 上单调递增，所以 x2x2，解得 x2.故原不等式的解集为(，1)(2，)答案 (，1)(2，)
