1、1小题对点练(十)计数原理、概率、 统计、复数、算法、推理与证明(建议用时：40 分钟)一、选择题1已知复数 z满足(12i) z43i，则 的虚部是( )zA1 B1 C2 D2B 由题意得， z 2i，4 3i1 2i 4 3i 1 2i 1 2i 1 2i 10 5i1 4 2i，z 的虚部是 1，故选 B.z2在一次实验中，同时抛掷 4枚均匀的硬币 16次，设 4枚硬币正好出现 3枚正面向上，1 枚反面向上的次数为 ，则 的方差是( )A3 B4 C1 D.1516A 抛掷 4枚均匀的硬币 1次，正好出现 3枚正面向上，1 枚反面向上的概率为C 4 ，因为 B ，34(12) 14 (
2、16， 14)所以 的方差是 16 3，故选 A.14 (1 14)3现有编号为 A， B， C， D的四本书，将这 4本书平均分给甲、乙两位同学，则 A， B两本书不被同一位同学分到的概率为( )A. B. C. D.14 13 23 12C 将 4本书平均分给甲、乙两位同学，共有 C 6(种)不同的分法， A， B两本书不24被同一位同学分到，则有 C C C 4(种)分法，12122所以所求概率为 ，故选 C.46 234(2018全国卷)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比
3、例，得到如图 9所示的饼图：2图 9则下面结论中不正确的是( )A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半A 法一：设建设前经济收入为 a，则建设后经济收入为 2a，则由饼图可得建设前种植收入为 0.6a，其他收入为 0.04a，养殖收入为 0.3a.建设后种植收入为 0.74a，其他收入为 0.1a，养殖收入为 0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为 1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的故选 A.法二：因为 0.60.372，所以新农村建设后，种植收入增加
4、，而不是减少，所以 A项是错误的故选 A.5某单位安排甲、乙、丙、丁 4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有 1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为( )A18 B24 C48 D96B 甲连续 2天上班，共有(周一，周二)，(周二，周三)，(周三，周四)，(周四，周五)四种情况，剩下三个人进行全排列，有 A 6 种排法因此共有 4624 种排法，故3选 B.6在( x2) 6展开式中， 二项式系数的最大值为 a，含 x5项的系数为 b，则 ( )abA. B 53 53C. D35 35B 在( x2) 6展开式中，二项式系数的最大值为 a， aC 20.展开
5、式中的通项公36式： Tr1 C x6 r(2) r，令 6 r5，可得 r1.含 x5项的系数为 b2C 12，则r6 16 .故选 B.ab 2012 537盒中装有 10只乒乓球，其中 6只新球，4 只旧球，不放回地依次摸出 2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A. B. C. D.35 59 110 25B 第一次摸出新球记为事件 A，则 P(A) ，353第二次取到新球记为事件 B，则 P(AB) ，C26C210 13 P(B|A) .P ABP A1335 598. (2018安庆市二模)如图 10，四边形 OABC是边长为 2的正方形，曲线段 D
6、E所在的曲线方程为 xy1，现向该正方形内抛掷 1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为( )图 10A. B.3 2ln 24 1 2ln 24C. D.5 2ln 24 1 2ln 24A 根据条件可知， E ，阴影部分的面积为(12， 2)dx(2 xln x) 2 3 2ln 2，2 12(2 1x) |012) (2 12) (ln 2 ln 12)所以，豆子落在阴影部分的概率为 .故选 A.3 2ln 249若(12 x)(12 x)7 a0 a1x a2x2 a8x8，则 a0 a1 a2 a7的值为( )A2 B3 C253 D126C 令 x1，得 a0 a1 a2 a83，
7、 a82(2) 7256， a0 a7 a83253.选 C.10某高中体育小组共有男生 24人，其 50 m跑成绩记作 ai(i1,2，24)，若成绩小于 6.8 s为达标，则如图 11所示的程序框图的功能是( )4图 11A求 24名男生的达标率B求 24名男生的不达标率C求 24名男生的达标人数D求 24名男生的不达标人数B 由题意可知 k记录的是时间超过 6.8 s的人数，而 i记录的是参与测试的总人数，因此 表示 24名男生的不达标率，故选 B.ki11.在如图 12所示的电路图中，开关 a， b， c闭合与断开的概率都是 ，且是相互独立12的，则灯亮的概率是( )图 12A. B.
8、18 14C. D.38 78C 设开关 a， b， c闭合的事件分别为 A， B， C，则灯亮事件 D ABC AB A C，且C BA， B， C相互独立， ABC， AB ， A C互斥，所以 P(D) P(ABC AB A C) P(A)P(B)P(C)C B C B P(A)P(B)P( ) P(A)P( )P(C) ，故选 C.C B12 12 12 12 12 (1 12) 12 (1 12) 12 3812(2018兰州市一诊)若 的展开式中各项的系数之和为 81，则分别在区(x1x 1)n 间0，和 内任取两个实数 x， y，满足 ysin x的概率为( )0，n45A1 B
9、11 2C1 D.3 12B 令 x1，可得 3n81， n4，则 x0， y0,1，点( x， y)所在区域为矩形，面积为 S，满足 ysin x的区域面积 S sin xdx cos x 2.所以满0 0足 y sin x的区域面积 S1 2，满足 y sin x的概率为 1 ，故选 B. 2 2二、填空题13已知 aR，i 为虚数单位，若 为实数，则 a的值为_a i2 i2 aR， i为实数，a i2 i a i 2 i 2 i 2 i 2a 1 a 2 i5 2a 15 a 25 0， a2.a 2514已知样本数据 3,4,5， x， y的平均数是 5，标准差是 ，则 xy_.24
10、2 由 5 得 x y13，由3 4 5 x y515 3 5 2 4 5 2 5 5 2 x 5 2 y 5 2 2得 x2 y210 x10 y450，10得， x2 y285 2得，2 xy84，即 xy42.15周末，某高校一学生宿舍甲、乙、丙、丁四位同学正在做四件不同事情：看书、写信、听音乐、玩游戏下面是关于他们各自所做事情的一些判断：甲不在看书，也不在写信；乙不在写信，也不在听音乐；如果甲不在听音乐，那么丁也不在写信；丙不在看书，也不在写信已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学在做的事情是：_.看书 由于这些判断都是正确的，那么由可知甲在听音乐或玩游戏；由可知乙在看书或玩
11、游戏；由可知丙在听音乐或玩游戏；那么甲与丙一个在听音乐一个在玩游戏，由此可知乙肯定在看书16如图 13中的实心点个数 1,5,12,22，被称为五角形数，其中第 1个五角形数记作 a11，第 2个五角形数记作 a25，第 3个五角形数记作 a312，第 4个五角形数记6作 a422，若按此规律继续下去，则 an_.图 13由题观察所给的图形，对应的点分别为3n2 n21,14,147,14710，可得点的个数为首项为 1，公差为 3的等差数列的和，则 an Sn n .3n n 12 3n2 n2小题对点练 计数原理、概率、统计、复数、算法、推理与证明 【教师备选】(建议用时：40 分钟)一、
12、选择题1某学校有男学生 400名，女学生 600名为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生 40名，女学生 60名进行调查，则这种抽样方法是( )A抽签法 B随机数法C系统抽样法 D分层抽样法D 总体由男生和女生组成，比例为 40060023，所抽取的比例也是 23，故拟从全体学生中抽取 100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法，故选 D.2设 X N(1， 2)，其正态分布密度曲线如图所示(随机变量 服从正态分布 N(1， 2)，则 P( )68.26%， P( 2 2 )95.44%)且 P(X3)0.022 8，那么向正方形 OABC中随
13、机投掷 10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )A6 038 B6 587C7 028 D7 539B 由题意知， P(0X1) 0.682 60.341 3，则落入阴影部分的点的个数的估12计值为 10 000(10.341 3)6 587.故选 B.3已知某路段最高限速 60 km/h，电子监控测得连续 6辆汽车的速度用茎叶图表示如图(单位：km/h)若从中任取 2辆，则恰好有 1辆汽车超速的概率为( )7A. B.415 25C. D.815 35C 由茎叶图可知，这 6辆汽车中有 2辆汽车超速，所以从中任取 2辆，则恰好有 1辆汽车超速的概率为 P ，故选 C.C12
14、C14C26 8154(2018北京高考)在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于( )11 iA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限D i，其共轭复数为 i，对应的点为 ，故选 D.11 i 1 i2 12 12 12 12 (12， 12)5(2018凉山州二诊)某校在教师交流活动中，决定派 2名语文教师，4 名数学教师到甲、乙两个学校交流，规定每个学校派去 3名老师且必须含有语文老师和数学老师，则不同的安排方案有( )A10 种 B11 种 C12 种 D15 种C 设 2名语文教师为 A， B，第一步，先分组，与 A同组的 2名数学老师共有 C 种，24另两名数学老师与 B同组有
15、 C 种方法，第二步，再安排到两个学校交流，有 A 种方法，2 2由分步乘法计数原理可得，共有 C C A 12 种，故选 C.24226(2018烟台市高考诊断)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.14 18 38 316B 不妨设小正方形的边长为 1，则两个等腰直角三角形的边长为 1,1， ，一个等腰2直角三角形的边长为 ， ，2，两个等腰直角三角形的边长为 2,2,2 ，即最大正方形边2 2 2长为 2 ， P1
16、，选 B.2122 1 1 228 187已知(1 x)n的展开式中第 5项与第 7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A2 9 B2 10 C2 11 D2 128A 由题意可得 C C ， n4610，4n 6n由二项式系数的性质可得，奇数项的二项式系数和为 2102 9.故选 A.128(2018郑州模拟)如图所示的程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法” ，执行该程序框图(图中“ mMODn”表示 m除以 n的余数)，若输入的 m， n分别为 495,135，则输出的 m( )A0 B5 C45 D90C 495135390,13590145,90452
17、m45，故选 C.9为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5户家庭，得到如下统计数据表：收入 x(万元 ) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9支出 y(万元 ) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得线性回归方程 x ，其中 0.76， .据此估计，该社区一y b a b a y b x户年收入为 15万元的家庭的年支出为( )A11.4 万元 B11.8 万元C12.0 万元 D12.2 万元B 由题意知， 10，x8.2 8.6 10.0 11.3 11.95 8，y6.2 7.5 8.0 8.5 9.85 80.76100.4，a 9当 x1
18、5 时， 0.76150.411.8(万元)y 10200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为( )A62,62.5 B65,62C65,63.5 D65,65D 选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为 0.5对应的横坐标即为中位数最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65；前两个矩形的面积为(0.010.02)100.3，由于 0.50.30.2，则 105，0.20.4所以中位数为 60565.故选 D.11. (12 x)5的展开式中， x3的系数为( )(x1x)A120 B160 C100 D
19、80A (12 x)5 x(12 x)5 (12 x)5，(x1x) 1x x(12 x)5的展开式中含 x3的项为 xC (2x)240 x3， (12 x)5的展开式中含 x3的251x项为 C (2x)480 x3， x3的系数为 4080120，故选 A.1x 15122018 年元旦假期，高三的 8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各 2名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐 4名同学(乘同一辆车的 4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有( )A18 种 B24
20、种 C36 种 D48 种B 第 1类，(1)班的孪生姐妹在甲车上，则甲车上另外 2名同学来自(2)，(3)，(4)中不同班级，有 C C C 12 种方式；第 2类，(1)班的孪生姐妹不在甲车上，则从(2)，(3)，231212(4)中选择一个班级的 2名同学在甲车上，另外 2名来自其余两个不同班级，有10C C C 12 种方式，由分类加法计数原理可得不同的乘坐方式共有 121224 种，故选 B.131212二、填空题13已知某人投篮的命中率为 ，则此人投篮 4次，至少命中 3次的概率是_34该人投篮 4次，命中 3次的概率为 P1C ；该人投篮 4次，命189256 34(34)3 (
21、1 34) 2764中 4次的概率为 P2C ，故至少命中 3次的概率是 P .4(34)4 81256 2764 81256 18925614在 1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字 5是取出的五个不同数的中位数的概率为_分析题意可知，抽取的除 5以外的四个数字中，有两个比 5小，有两个比 5大，928故所求概率 P .C24C23C58 92815一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中” ；乙说“我没有作案，是丙偷的” ；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷” ；丁说：“乙说的是事实” 经过调查核实
22、，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中有一人是罪犯，由此可判断罪犯是_乙 由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯16某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满 100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击 3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到 3次为止设甲每次击中的概率为 p(p0)，射击次数为 ，若 的期望E( ) ，则 p的取值范围是_74由已知得 P( 1) p， P( 2)(1 p)p，(0，12)P( 3)(1 p)2，则 E( ) p2(1 p)p3(1 p)2 p23 p3 ，解得 p74或 p ，52 12又 p(0,1)，所以 p .(0，12)
