1、1小题分层练(七) 压轴小题巧解练(建议用时：40 分钟)一、选择题1若曲线 yln x ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数 a的取值范围是( )A. B.(12， ) 12， )C(0，) D0，)D 由题意得 y 2 ax0 在(0，)上恒成立，1x a 在 x(0，)上恒成立令 f(x) ， x(0，)，则 f(x)在12x2 12x2(0，)上单调递增，又 f(x) 1 f(x)， f(0)2，则不等式 f(x)1e x的解集为( )A(1，) B(0，)C(1，) D(e，)B 令 g(x)e xf(x)e x，则g( x)e xf(x) f( x)10，所以函数 g(
2、x)在 R上单调递增又 g(0)e 0f(0)e 01，所以不等式 f(x)1e xexf(x)e x1g(x)g(0)x0，2故不等式 f(x)1e x的解集为(0，)4半径为 R的球 O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是( )A2 R2 B. R2 52C3 R2 D. R272A 设圆柱的上底面半径为 r，球的半径与上底面夹角为 ，则 r Rcos ，圆柱的高为 2Rsin ，圆柱的侧面积为 2 R2sin 2 ，当且仅当 时，sin 2 1，圆柱4的侧面积最大，圆柱的侧面积为 2 R2，球的表面积为 4 R2，球的表面积与该圆柱的侧面积之差为 2 R2
3、，故选 A.5(2018孝义市一模)已知函数 f(x)e x2 x a，若曲线 y x3 x1( x1,1)上存在点( x0， y0)使得 f(y0) y0，则实数 a的取值范围是( )A(，e 3 9)e3，)Be 3 9，e3C(e 3 9，e 26) D(，e 3 9)(e3，)B 因为曲线 y x3 x1 在 x1,1上递增，由曲线 y x3 x1( x1,1)上存在点( x0， y0)使 f(y0) y0，可知 y01,3，由 f(y0) y0，可得y0e 2 y0 a， ae 3 y0，而 ae 3 y0在1,3上单调递减， y0 y0 y0 ae 3 9，e3，故选 B.6(20
4、18武汉调研)已知 A， B分别为椭圆 1(0 b3)的左、右顶点， P， Qx29 y2b2是椭圆上关于 x轴对称的不同两点，设直线 AP， BQ的斜率分别为 m， n，若点 A到直线 yx的距离为 1，则该椭圆的离心率为( )1 mnA. B. 12 24C. D.13 22B 根据椭圆的标准方程 1(0 b3)知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，x29 y2b2A(3,0)， B(3,0)，设 P(x0， y0)， Q(x0， y0)，则 1， kAP m ， kBQ nx209 y20b2 y0x0 3， mn ， ，直线 y x x，即 y0x0 3 y20x20 9 b29 1 m
5、n 9 b23 1 mn 9 b233x3 y0.又点 A到直线 y x的距离为 1，9 b2 1 mn 1，解得 b2 ， c2 a2 b2 ， e ，| 39 b2|9 b2 9 39 b218 b2 638 98 c2a2 18 24故选 B.7已知当 x0,1时，函数 y( mx1) 2的图象与 y m的图象有且只有一个交x点，则正实数 m的取值范围是( )A(0,12 ，) B(0,13，)3C(0， 2 ，) D(0， 3，)2 3 2B 在同一直角坐标系中，分别作出函数 f(x)( mx1) 2 m2 2与 g(x) m(x1m) x的大致图象分两种情形：(1)当 01时，00)
6、准线的距离为 4， F为抛物线的焦点，点 N(1,1)，当点 P在直线 l： x y2 上运动时， 的最小值为( )|PN| 1|PF|A. B. 3 228 2 24C. D.5 228 5 224B 点 M(3,2)到抛物线 C： y ax2(a0)准线的距离为 4，2 4， a ，14a 18抛物线 C： x28 y，直线 l： x y2 与 x轴交于 A(2,0)，则 FA l，且点 N， A， F三点共线，设|AP| t，则| AN| ，| AF|2 ，| PN| ，| PF| ，2 2 t2 2 t2 8设 1 m(m 1)，则 ，t2 2 2|PN| 1|PF| t2 2 1t2
7、 8 m m 1 2 6 m 1，即 t0 时， 的最小值为 .2|PN| 1|PF| 2 2410.如图 27，在 ABC中， AB BC ， ABC90，点 D为 AC的中点，将 ABD沿6BD折起到 PBD的位置，使 PC PD，连接 PC，得到三棱锥 PBCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )图 27A7 B5 C3 DA 依题意可得该三棱锥的面 PCD是边长为 的正三角形，且 BD平面 PCD，设三棱3锥 PBDC外接球的球心为 O， PCD外接圆的圆心为 O1，则 OO1平面 PCD，所以四边形OO1DB为直角梯形，由 BD ， O1D1，及 OB OD，
8、可得 OB ，则外接球的半径 R .372 72所以该球的表面积 S 球 4 R27.11记函数 f(x)sin 2nxcos nx在区间0，内的零点个数为 an(nN *)，则数列 an的前 20项的和是( )A430 B840C1 250 D1 6605A 令 f(x)sin 2nxcos nx2cos nx 0，得 cos nx0或 sin (sin nx12)nx ，12由得， nx k( kZ)，令 0 k n，得 k n ，故共有 n个2 2 12 12解，由得 nx 2 k 或 2 k( kZ)，6 56令 0 2 k n，得 k ，6 112 n2 112令 0 2 k n，5
9、6得 k ，512 n2 512当 n为偶数时，有 个解，有 个解，故有 n个解，故 an2 n；n2 n2当 n为奇数时，有 个解，有 个解，故有 n1 个解，故 an2 n1；n 12 n 12令 bn a2n1 a2n2(2 n1)12(2 n)8 n1；故 a1 a2 a20 b1 b2 b10 430，故选 A.10 b1 b10212.在直角梯形 ABCD中， AB AD， AD BC， AB BC2 AD2， E， F分别为 BC， CD的中点，以 A为圆心， AD为半径的半圆分别交 BA及其延长线于点 M， N，点 P在 上运动 MDN(如图 28)若 ，其中 ， R，则 2
10、5 的取值范围是( )AP AE BF 图 28A2,2 B2,2 2C2 ，2 D2 ，2 2 2 2C 分别以 AB， AD所在直线为 x轴， y轴， AB， AD方向为正方向建立直角坐标系，则 B(2,0)， D(0,1)， E(2,1)， F ，(1，32)设 P(cos ，sin )(0 )，6由 AP AE BF ，得(cos ，sin ) (2,1) ，则( 1，32)2 5 2cos 2sin 2 sin ，由 0 可得 ，234 34 34 74则2 2 sin 2.2 2 ( 34)则 2 5 的取值范围是2 ，2故选 C.2二、填空题13. (2018长春模拟)如图 29
11、，在边长为 4的正方形 ABCD中，动圆 Q的半径为 1，圆心 Q在线段 BC(含端点)上运动， P是圆 Q上及内部的动点，设向量 m n (m， n为AP AB AD 实数)，则 m n的取值范围是_图 29如图建立平面直角坐标系，则 (4,0)，124， 2 24 AB (0,4)， m n (4 m,4n)，设 Q(4， t)， t0,4，则AD AP AB AD P在圆( x4) 2( y t)21 上，设 P(4cos ， tsin )，则 Error!4m4 n4 t sin ，当 t0， 时，2 ( 4) 54m n取得最小值 1 ，当 t4， 时， m n取得最大值 2 ，所以
12、 m n的24 4 24取值范围是 .124， 2 2414函数 f(x) 的图象与函数 g(x)2sin x(0 x4)的图象的所有交点为12 x 2(x1， y1)，( x2， y2)，( xn， yn)，则 f(y1 y2 yn) g(x1 x2 xn)_.如图，画出函数 f(x)和 g(x)的图象，可知有 4个交点，并且关于12点 对称，所以 y1 y2 y3 y40， x1 x2 x3 x48，所以(2， 0)f(y1 y2 y3 y4) g(x1 x2 x3 x4) f(0) g(8) 0 .12 1215.如图 30，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，7 ACB
13、90， AC6， BC CC1 ， P是 BC1上一动点，则 CP PA1的最小值为2_图 305 连接 A1B，沿 BC1将 CBC1展开，使与 A1BC1在同一个平面内，如图所示，连2接 A1C.则 A1C的长度就是所求的最小值易知 A1C1B90， BC1C45，所以 A1C1C135，在 A1C1C中，由余弦定理可得 A1C5 .故 CP PA1的最小值为 5 .2 216.具有公共 y轴的两个直角坐标平面 和 所成的二面角 y轴 大小为 45，如图 31，已知在 内的曲线 C的方程是 y24 x，曲线 C在平面 内射影的方程2y22 px，则 p的值是_图 312 结合题中所给的示意图可知，曲线 C的方程是 y24 x，则 OF ，作2 2F平面 于点 F，由于平面 和 所成的二面角 y轴 大小为 45，故OF cos 451，即曲线 C在平面 内射影所形成的抛物线的焦距为 1，故2p212.
