1、1增分即时训练(一)(建议用时：60 分钟)一、选择题1方程| x22 x| a21( a0)的解的个数是( )A1 B2 C3 D4B a0， a211.而 y| x22 x|的图象如图所示， y| x22 x|的图象与 y a21 的图象总有 2 个交点2(2018佛山二模)若椭圆 mx2 ny21 的离心率为 ，则 ( )12 mnA B34 43C 或 D 或32 233 34 43D 若焦点在 x 轴上，则方程化为 1，依题意得 ，解得 ；若焦点x21my21n1m 1n1m 14 mn 34在 y 轴上，则方程化为 1，同理可得 .y21nx21m mn 43故所求值为 或 .34
2、 433已知实数 x， y 满足不等式组Error!若 x2 y2的最大值为 m，最小值为 n，则m n( )A B 252 172C8 D9B 作出可行域，如图所示 x2 y2表示可行域内的点与原点的距离的平方，观察图形可知，原点到直线 x y30 的距离| OD|的平方为最小值，即此时等于 n，| OA|2 m，经过计算可得 m13， n ，则 m n ，故选 B. 92 1724设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对于任意的实数x1 x2都有 0 成立，若实数 x， y 满足不等式 f(x22 x) f(y23)f x1 f x2x1 x20，则 x2 y2的最大值为( )A2 B3
3、 2C4 D9D 当 x1 x2时， f(x1) f(x2)， f(x)在 R 上单调递减因为 f(x22 x) f(y23)0，所以 f(x22 x) f(3 y2)， x22 x3 y2，( x1) 2 y24，因此 x2 y2的最大值为( 2) 29，选 D.12 025已知 a， b 是单位向量， ab0.若向量 c 满足| c a b|1，则| c|的最大值为( )A 1 B 2 2C 1 D 22 2C | a| b|1，且 ab0，可设 a(1,0)， b(0,1)，c( x， y) c a b( x1， y1)| c a b|1， 1， x 1 2 y 1 2即( x1) 2(
4、 y1) 21.又| c| ，如图所示x2 y2由图可知，当 c 对应的点( x， y)在点 C 处时，| c|有最大值且|c|max 1 1.12 12 26已知直线(1 m)x(3 m1) y40 所过定点恰好落在函数 f(x)Error!的图象上，若函数 h(x) f(x) mx2 有三个不同的零点，则实数 m 的取值范围是( )A B( ，12) (12， 1)C D(1，)(12， 1B 由(1 m)x(3 m1) y40 得 x y4 m(x3 y)0，由Error!可得直线过定点(3,1)，log a31， a3.令f(x) mx20，得 f(x) mx2，在同一坐标系中作出y1
5、 f(x)与 y2 mx2 的图象，易得当 m1 时满足题意，12故选 B.7(2018西安模拟)已知等差数列 an的公差 d0，且 a1， a3， a13成等比数列，若a11， Sn为数列 an的前 n 项和，则 的最小值为( )2Sn 16an 3A3 B4 C2 2 D392B a1， a3， a13成等比数列， a11， a a1a13，23(12 d)2112 d， d0，解得 d2.3 an12( n1)2 n1. Sn n 2 n2.n n 12 2Sn 16an 3 2n2 162n 2 n 1 2 2 n 1 9n 1 n1 22 24，当且仅当 n1 时，即 n2 时9n
6、1 n 1 9n 1 9n 1取等号，且 取到最小值 4，故选 B.2Sn 16an 38已知函数 f(x) x3 ax2 bx c 有两个极值点 x1， x2，若 x1 f(x1) x2，则关13于 x 方程 f(x)22 af(x) b0 的实数根的个数不可能为( )A2 B3 C4 D5D 由题意，得 f( x) x22 ax b.因为 x1， x2是函数 f(x)的两个极值点，所以x1， x2是方程 x22 ax b0 的两个实数根，所以由 f(x)22 af(x) b0，可得 f(x) x1或 f(x) x2.由题意，知函数 f(x)在(， x1)，( x2，)上单调递减，在( x1
7、， x2)上单调递增，又 x1 f(x1) x2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程 f(x)22 af(x) b0 的实根个数不可能为 5，故选 D.二、填空题9(2018乌鲁木齐地区一诊)两条渐近线所成的锐角为 60，且经过点( ， )的2 3双曲线的标准方程为_x2 1 或 1 当双曲线的焦点位于 x 轴时，其标准方程为 1，y23 3y27 x27 x2a2 y2b2其渐近线方程为： y x，ba则Error! 解得Error!双曲线的方程为 x2 1；y23当双曲线的焦点位于 y 轴时，其标准方程为 1，其渐近线方程为： y x，y2a2 x2b2 ab则Error! 解得
8、Error!双曲线的方程为 1.3y27 x2710(2018浙江高考)从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答)41 260 不含有 0 的四位数有 C C A 720(个)25 23 4含有 0 的四位数有 C C C A 540(个)25 13 13 3综上，四位数的个数为 7205401 260.11抛物线 y28 x 的焦点为 F，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)是抛物线上的两个动点，若x1 x24 |AB|，则 AFB 的最大值为_233由抛物线的定义可得| AF| BF| x1
9、 x24，又 x1 x24 |AB|，则23 233|AF| BF| |AB|2 ，所以| AF|BF| |AB|2.在 AFB 中，由余弦定233 |AF|BF| 13理可得cos AFB|AF|2 |BF|2 |AB|22|AF|BF| |AF| |BF| 2 2|AF|BF| |AB|22|AF|BF| 1 1 ，所以 AFB 的最大值是 .43|AB|2 |AB|22|AF|BF| |AB|26|AF|BF| 12 2312关于 x 的不等式 x 1 a22 a0 在(2，)上恰成立，则 a 的取值集合为4x_1,3 关于 x 的不等式 x 1 a22 a0 在(2，)上恰成立函数 f
10、(x)4x x 在(2，)上的值域为( a22 a1，)由 f(x) x ， x(2，)，可得4x 4xf( x)1 0，所以 f(x) x 在(2，)上为单调递增函数，所以 f(x)4x2 x2 4x2 4xf(2)4.又关于 x 的不等式 x a22 a1 在(2，)上恰成立，所以 a22 a14，4x解得 a1 或 a3.三、解答题13已知数列 an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，且数列 是公差为 2 的等差数列Snn(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn(1) nan，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解 (1)由已知条件可得 1( n1)22 n1，所以 Sn2 n2 n
11、.Snn5当 n2 时， an Sn Sn1 2 n2 n2( n1) 2( n1)4 n3，当 n1 时， a1 S11，而 4131，所以 an4 n3.(2)由(1)可得 bn(1) nan(1) n(4n3)，当 n 为偶数时， Tn1591317(4 n3)4 2 n.n2当 n 为奇数时， n1 为偶数， Tn Tn1 bn1 2( n1)(4 n1)2 n1.综上， TnError!14已知抛物线 C： y22 x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1， l2分别交 C 于A， B 两点，交 C 的准线于 P， Q 两点(1)若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中
12、点，证明 AR FQ；(2)若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程解 由题意知 F ，(12， 0)设直线 l1的方程为 y a，直线 l2的方程为 y b，则 ab0，且 A ， B ， P ，(a22， a) (b22， b) ( 12， a)Q ， R .(12， b) ( 12， a b2 )记过 A， B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x( a b)y ab0.(1)证明：由于 F 在线段 AB 上，故 1 ab0.设 AR 的斜率为 k1， FQ 的斜率为 k2，则 k1 b k2.a b1 a2 a ba2 ab 1a aba b 0 12 12所以 AR FQ.(2)设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0)，则 S ABF |b a|FD| |b a| ，12 12 |x1 12|S PQF .|a b|2由题意可得| b a| ，|x112| |a b|2所以 x10(舍去)， x11.设满足条件的 AB 的中点为 E(x， y)6当 AB 与 x 轴不垂直时，由 kAB kDE可得 (x1)2a b yx 1而 y，所以 y2 x1( x1)a b2当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合，此时 E 点坐标为(1,0)，满足方程 y2 x1.所以所求的轨迹方程为 y2 x1.
