1、1培优点十五 平行垂直关系的证明1平行关系的证明例 1：如图， E， F， G， H分别是正方体 1ABCD的棱 BC， 1， D，A的中点求证：（1） 平面 1BD；（2）平面 F 平面 H【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】证明（1）如图，取 1BD的中点 O，连接 G， B，因为 12OGBCE ，所以 BOG ，所以四边形 BEGO为平行四边形，故 OBEG ，因为 平面 D， 平面 1D，所以 平面 1D（2）由题意可知 1 连接 H， F，因为 1BHF ，所以四边形 1B是平行四边形，故 1HBF又 =I， =I，所以平面 平面 2垂直关系的证明例 2：如图，在三棱柱 1
2、ABC中，侧棱 1A底面 BC， M为棱 A的中点=ABC， 2， =2（1）求证： 1BC 平面 1AM；（2）求证： 平面 ；（3）在棱 1上是否存在点 N，使得平面 1ACN平面 1C？如果存在，求此时1BN的值；如果不存在，请说明理由【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）存在， 2【解析】 （1）证明：连接 1AB与 ，两线交于点 O，连接 M在 1BAC 中， M， O分别为 AC， 1B的中点， 1OMBC ，又 O平面 1， 1B平面 ， 平面 A（2）证明：侧棱 底面 ， 平面 ， 1，又 为棱 A的中点， =， 1=C， 1， 平面 1AC， B平面 1AC， 1BAC
3、 2， M又 12，在 1Rt 和 tM 中，11tantanA， ，即 11190CAC， 11AC B， B， 平面 BM， 平面 B（3）解：当点 N为 1的中点，即 12N时，平面 1N平面 1A3证明如下：设 1AC的中点为 D，连接 M， N， D， 分别为 1AC， 的中点， M ，且 12DC又 N为 1B的中点， DMBN ，且 B，四边形 BM为平行四边形， ， 平面 1A， 平面 1AC又 平面 1ACN，平面 平面 对点增分集训一、单选题1平面 外有两条直线 m和 n，如果 和 n在平面 内的射影分别是 1m和 n，给出下列四个命题： 1mn； 1； 1m与 相交 与
4、相交或重合； 1与平行 与 平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体 1ABC中：4对于说法：若取平面 为 ABCD， 1m， n分别为 AC， BD， mn， 分别为 1ACBD， ，满足 1mn，但是不满足 n，该说法错误；对于说法：若取平面 为 ， 分别为 1， ， ， 分别为 1， ，满足 n，但是不满足 1n，该说法错误；对于说法：若取平面 为 ABCD， 1m， 分别为 ACBD， ， m， 分别为1ACBD，满足 m与 n相交，但是 m与 n异面，该说法错误；对于说法：若取平面 为 1A，1
5、、 分别为 1A， ， 、 分别为 1ACB， ，满足 1m与 n平行，但是 m与 n异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是 4本题选择 D 选项2已知 、 为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A若 l， ln，且 m， ，则 lB若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则 C若 m， ，则 D若 n ， ，则【答案】D【解析】对于选项 A，若 lm， ln，且 ， ，则 l 不一定垂直平面 ， m有可能和 n平行，该选项错误；对于选项 B，若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则 、 可能相交或平行，该选项错误；对于选项 C，若 mn， ，则
6、 有可能在平面 内，该选项错误；5对于选项 D，由于两平行线中有一条垂直平面 ，则另一条也垂直平面 ，该选项正确，故答案为 D3给出下列四种说法：若平面 ，直线 ab， ，则 ab ；若直线 ab ，直线 ，直线 ，则 ；若平面 ，直线 a，则 ；若直线 a ， ，则 其中正确说法的个数为（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【答案】D【解析】若平面 ，直线 ab， ，则 ab， 可异面；若直线 ab ，直线 ，直线 ，则 ， 可相交，此时 ab， 平行两平面的交线；若直线 ， ，则 ， 可相交，此时 ab， 平行两平面的交线；若平面 ，直线 a，则 与 无交点，即 ；故选 D4已知 m
7、、 n为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）（1） ， n， ， n （2） m ， （3） ， ， m （4） ， mnA0 个 B1 个 C2 个 D3【答案】B【解析】由 m， n， ， n ，若 ab， 相交，则可得 ，若 ab ，则与 可能平行也可能相交，故（1）错误；若 n ， 根据线面垂直的第二判定定理可得 m，故（2）正确；若 ， m， n，则 mn 或 ， 异面，故（3 ）错误；6若 m， n，则 或 n，故（4）错误；故选 B5如图，在正方体 1ABCD中， MNP， ， 分别是 11CDA， ， 的中点，则下列命题正确的是（ ）A MNP B
8、 1MNDC 1BD 平 面 D P 平 面【答案】C【解析】A： N和 AP是异面直线，故选项不正确；B： M和 1是异面直线，故选项不正确；C：记 DOI正方体 1BCDA中， MN， 分别 1CDB， 是的中点， 1N ， 12NM， 1O为平行四边形， 1O ， M平面 B， 平面 1， 平面 1BD：由 C 知 1ND 平 面 ，而面 1B和面 DP相交，故选项不正确；故选 C6已知 mn， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 mn， 平行于同一平面，则 mn与 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直
9、线D若 ， 不平行，则 与 不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】垂直于同一平面的两平面相交或平行，A 不正确；7平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面，B 不正确；平面不平行即相交，在一个平面内平行两平面交线的直线与另一平面平行，C 不正确；D 为直线与平面垂直性质定理的逆否命题，故 D 正确故选 D7已知 mn， 是两条不重合的直线， ， ， 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若 ， ，则 ；若 ， ，则 ；若 mn， ， ，则 ；若 ， 是异面直线， mn， ， ， ，则 其中真命题是（ ）A和 B和 C和 D和【答案】D【解析】逐一考查所给的命题：由线面垂直的性质定理可得若
10、m， ，则 ，命题正确；如图所示的正方体 1ABCD中，取平面 ， ， 分别为平面11AB， ，满足 ， ，但是不满足 ，命题错误；如图所示的正方体 1ABCD中，取平面 ， 分别为平面 11ABD， ，直线 mn， 分别为 1， ，满足 mn， ， ，但是不满足 ，命题错误；若 mn， 是异面直线， mn， ， ， ，由面面平行的性质定理易知 ，8命题正确；综上可得，真命题是和，本题选择 D 选项8如图，正方体的棱长为 1，线段 1AC上有两个动点 EF， ，且 2；则下列结论错误的是（ ） A BDCEB EFABCD 平 面C三棱锥 F的体积为定值 D 的面积与 EF 的面积相等【答案】
11、D【解析】在正方体 1ABDC中， B平面 1A，而 CE平面 1，故 E，故 A 正确又 1A 平面 ，因此 F 平面 D，故 B 正确当 F变化时，三角形 C的面积不变，点 到平面 CEF的距离就是 B到平面 1AC的距离，它是一个定值，故三棱锥 E的体积为定值（此时可看成三棱锥 EF的体积） ，故 C 正确在正方体中，点 B到 F的距离为 62，而 C到 EF的距离为 1，D 是错误的，故选 D9如图所示， A是圆 O的直径， VA垂直于圆 O所在的平面，点 C是圆周上不同于，的任意一点， MN， 分别为 ， 的中点，则下列结论正确的是（ ）9A MNB B MN与 C所成的角为 45C
12、 O平面 VACD平面 VA平面 B【答案】D【解析】对于 A 项， N与 B异面，故 A 项错；对于 B 项，可证 平面 V，故 CMN，所成的角为 90，因此 B 项错；对于 C 项， O与 不垂直， O不可能垂直平面 VC，故 C 项错；对于 D 项，由于 A， 平面 AB， 平面 AB， ， =AVI， B平面 V， 平面 ，平面 平面 VB，故选 D10如图，在三棱柱 1C中，侧棱 1底面 1，底面三角形 1A是正三角形， E是 中点，则下列叙述正确的是（ ）A 1C与 BE是异面直线 B AC平面 1BAC ， 为异面直线且 1AED 1 平面 E【答案】C【解析】对于 A 项，
13、1C与 B在同一个侧面中，故不是异面直线，A 错；对于 B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故 AC平面 1BA不可能，B 错；对于 C 项， E， 1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，C 正确；对于 D 项， 1A所在的平面与平面 1ABE相交，且 1AC与交线有公共点，故 1AC 平面 1BE不正确，D 项不正确；故选 C11设 F， 分别是正方体 1ACDB的棱 上两点，且 21ABEF， ，给出下10列四个命题：三棱锥 1DBEF的体积为定值；异面直线 1DB与 EF所成的角为 45； 1DB平面1；直线 与平面 1所成的角为 60其中正确的命题为（ ）A B
14、 C D【答案】A【解析】由题意得，如图所示，中，三棱锥的体积的为 111123323DBEFDDEFVSBCEF ，体积为定值；中，在正方体中， 1C ，异面直线 1与 所成的角就是直线 1DB与 1C所成的角，即 145BDC，这正确的；中，由可知，直线 1B与 EF不垂直， 1DB面 1EF不成立，是错误的；中，根据斜线与平面所成的角，可知 与平面 所成的角，即为 145BDC，不正确12如下图，梯形 ABCD中， B ， 1ADA， ， ，将ABD沿对角线 折起设折起后点 的位置为 ，并且平面 B平面 给出下面四个命题： ；三棱锥 AB的体积为 2； C平面 AD；平面 ABC平面 其
15、中正确命题的序号是（ ）11A B C D【答案】B【解析】 90ADA， ， 45DBA， 45C ， ， B，平面 B平面 ，且平面 I平面 C， D平面 AB， A平面 ， A，故 B不成立，故错误；棱锥 D的体积为 12326，故错误；由知 C平面 B，故正确；由知 平面 A，又 平面 ABD， CAB，又 AB，且 、 平面 ， ， 平面 D，又 B平面 ，平面 C平面 A，故正确故选 B二、填空题13设 mn， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是_(填序号)若 ， ，则 n ；若 m ， ，则 ；若 mn ， ，则 ；若 ， ，则 m12【答案】【解析】
16、m ， n ，则 mn ， 与 可能相交也可能异面，不正确；， ，则 ，还有 与 可能相交，不正确；n， ，则 ，满足直线与平面垂直的性质定理，故正确；m， ，则 m，也可能 ，也可能 mA，不正确；故答案为14一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论 ABEF； 与 CM所成的角为 60； EF与 MN是异面直线； MNCD 以上四个命题中，正确命题的序号是_【答案】【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图：则 ABEF， 与 MN异面， ABCMND ， ，只有正确故答案为15若四面体 CD的三组对棱分别相等，即 ACBD， ， ，给出下列结论：四面体 AB每组
17、对棱相互垂直；四面体 每个面的面积相等；从四面体 CD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大 90而小于 18；连接四面体 AB每组对棱中点的线段相互垂直平分其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号）13【答案】【解析】将四面体 ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，平行六面体为长方体由于长方体的各面不一定为正方形，同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直错误；四面体 ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的正确；由，四面体 的每个面是全等的三角形，从四面体 ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和
18、为 180错误；连接四面体 ABCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分正确，故答案为16如图，一张矩形白纸 ABCD， 10， 2A， EF， 分别为 ADBC， 的中点，现分别将 E ， F 沿 E， 折起，且 C、 在平面 B同侧，下列命题正确的是_（写出所有正确命题的序号） 当平面 ABE 平面 CDF时， A 平面 BFDE当平面 平面 时， 当 、 重合于点 P时， G当 A、 重合于点 时，三棱锥 EF的外接球的表面积为 150【答案】14【解析】在 ABE 中， 2tan，在 ACD 中， 2tanA， DC，由题意，将 BEF ， 沿 BE， 折起，且 ， 在平面 F同侧，此
19、时 AGH， ， ， 四点在同一平面内，平面 AI平面 GHA，平面 I平面 ，当平面 BE 平面 CDF时，得到 C ，显然 C，四边形 AC是平行四边形， ，进而得到 A 平面 BFDE，正确的；由于折叠后，直线 与直线 为异面直线， AE与 CD不平行，错误的；折叠后，可得 103PG， 10，其中 10G， 22PG， 和 D不垂直， 不正确；当 ,AC重合于点 时，在三棱锥 PDEF中， 和 FC 均为直角三角形， F为外接球的直径，即 562R，则三棱锥 PDE的外接球的表面积为2256410，是正确，综上正确命题的序号为三、解答题17如图，四棱锥 PABCD中， 2ABC， AD
20、 ， B， PD 为正三角形且 23PA（1）证明：平面 AB平面 PC；（2）若点 到底面 D的距离为 2， E是线段 PD上一点，且 PB 平面 ACE，求四面体 ACE的体积15【答案】 （1）见解析；（2） 89【解析】 （1）证明： ABD，且 2A， 2BD，又 PBD 为正三角形， P，又 ， 3PA， BP，又 A， C ， C， P， 平面 ，又 AB平面 ，平面 PB平面 （2）如图，连接 D， AC交于点 O， BCAD ，且 2ADBC， 2OB，连接 E， P 平面 E， P ，则 2DP，由（1）点 到平面 A的距离为 2，点 到平面 B的距离为 43h， 1182
21、339ACDEAACDVS ，即四面体 的体积为 8918如图，四边形 B为正方形， E平面 ABCD， EF ， 4AB， 2E，1EF16（1）求证： BCAF；（2）若点 M在线段 上，且满足 14CMA，求证： EM 平面 FBC；（3）求证： 平面 E【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】 （1） FAB ， 与 确定平面 EABF， EA平面 CD， E由已知得 C且 =AI， B平面 又 平面 ， （2）过 M作 NB，垂足为 N，连接 F，则 MNB 又 14A， 又 EAB 且 14， EFN 且 ， 四边形 FN为平行四边形， EFN 又 平面 BC， EM平面 BC， EM 平面 BC（3）由（1）可知， A在四边形 F中， 4， 2， 1F， 90AEF， 1tantaEB，则 EBA设 API， 90P，故 90，则 ，即 F又 EBCI， AF平面 EBC
