1、1第十五章 不等式选讲考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度不等式的解法及证明1.理解绝对值的几何意义并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|a|+|b|(a,bR),|a-b|a-c|+|c-b|(a,b,cR)2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|c;|ax+b|c;|x-c|+|x-b|a3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法等2017课标全国,23;2017课标全国,23;2017课标全国,23;2016课标全国,24;2016课标全国,24;2016课标全国,24;2015课标,24;2015课标
2、,24填空题、解答题分析解读不等式选讲是高考的选考内容之一,主要考查绝对值的几何意义,绝对值不等式的解法及不等式证明的基本方法.本节内容在高考中分值为10分,属中档题.五年高考考点 不等式的解法及证明21.(2017课标全国,23,10分)已知a0,b0,a 3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明 (1)(a+b)(a 5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+ (a+b)=2+ ,3(+)24 3(+
3、)34所以(a+b) 38,因此a+b2.2.(2017课标全国,23,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x 2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解析 (1)f(x)= -3,2. 当x2时,由f(x)1得x2.所以f(x)1的解集为x|x1.(2)由f(x)x 2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x 2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x 2+|x|=- + ,(|-32)254 54且当x= 时,|x+1|-|x-2|-x 2+x= .32 54故m的取值范围为 .(-,543.(201
4、6课标全国,24,10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时, f(x)+g(x)3,求a的取值范围.3解析 (1)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+26得-1x3.因此f(x)6的解集为x|-1x3.(5分)(2)当xR时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x= 时等号成立,12所以当xR时, f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3.(7分)当a1时,等价于1-a+a3,无解.当a1时,等价
5、于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范围是2,+).(10分)4.(2016课标全国,24,10分)已知函数f(x)= + ,M为不等式f(x)-1;(3分)12当- 0.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解析 (1)证明:当a=1时,f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10.4当x-1时,不等式化为x-40,无解;当-10,解得 0,解得1x1的解集为 .(5分)|23. 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A ,B(2a+1,0),C(a,a+1),ABC的面积为 (2-13 ,0) 2
6、3a+1)2.由题设得 (a+1)26,故a2.23所以a的取值范围为(2,+).(10分)6.(2015课标,24,10分)选修45:不等式选讲设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:(1)若abcd,则 + + ; (2) + + 是|a-b|cd得( + )2( + )2. 因此 + + . (2)(i)若|a-b|cd.由(1)得 + + . (ii)若 + + ,则( + )2( + )2, 即a+b+2 c+d+2 . 因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b) 2=(a+b)2-4ab + 是|a-b|0,b0,且 + = .11 (1)求a 3+b3的最小值;(
7、2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解析 (1)由 = + ,得ab2,且当a=b= 时等号成立.11 2 2故a 3+b32 4 ,且当a=b= 时等号成立.33 2 2所以a 3+b3的最小值为4 .2(2)由(1)知,2a+3b2 4 .6 3由于4 6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.3教师用书专用(815)8.(2014陕西,15A,5分)(不等式选做题)设a,b,m,nR,且a 2+b2=5,ma+nb=5,则 的 最小值为 .2+2答案 59.(2014江西,15,5分)x,yR,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,则x+y的取值范围为 .答案 0,
8、210.(2013陕西,15A,5分)(不等式选做题)设a,bR,|a-b|2,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|2的解集是 .答案 (-,+)11.(2015陕西,24,10分)选修45:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|0).|+1|(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)0,有f(x)= +|x-a| = +a2,所以f(x)2.|+1| |+1-(-)| 1(2)f(3)= +|3-a|.|3+1|当a3时, f(3)=a+ ,由f(3)-1,且当x 时, f(x)g(x),求a的取值范围.-2,12)解析 (1)当a=-2时,不等式f(x)1. 其图象如图所示.从图象可知
9、,当且仅当x(0,2)时,y 时,x的取值范围是 .12 ,12 12 12 12 12,2.(2018湖北荆州中学月考,23)已知函数f(x)=|x-3|.(1)求不等式f(x)+f(2x)4,证明:f(x 1)+f(x2)12.解析 (1)由f(x)+f(2x)4,f(x 1)+f(x2)12.93.(2017河南考前预测,23)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|.(1)求不等式f(x)+|x+1|0,n0),求 + 的最小值.41解析 (1)f(x)+|x+1|=-3,-1,-+2,-1- ,所以x;23当-10,所以00,n0,所以 + = (m+n) = = ,411
10、2 (4+1)12(5+4+) 12(5+24)92当且仅当 = ,即m= ,n= 时等号成立.4 43 23所以 + 的最小值为 .41 924.(2017广东百校联考,23)已知f(x)=|x+2|-|2x-1|,M为不等式f(x)0的解集.(1)求M;(2)求证:当x,yM时,|x+y+xy|12. 当x0,得x3,所以x;当-2x 时,由3x+10,得x- ,故- 时,由-x+30,得x32,(2+1)+(2-3)6或 或 -1232,(2+1)-(2-3)6 4,解此不等式得a5.2.(2018广东珠海二中期中,23)已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|(mR).(1)当m=-
11、1时,求不等式f(x)2的解集;(2)设关于x的不等式f(x)|2x+1|的解集为A,且 A,求实数m的取值范围.34,2解析 (1)当m=-1时,f(x)=|x-1|+|2x-1|,f(x)2即|x-1|+|2x-1|2,上述不等式可化为 12,1-+1-2211或 或120,b0,且a+b=1.(1)若abm恒成立,求m的取值范围;(2)若 + |2x-1|-|x+2| 恒成立,求x的取值范围.41解析 (1)a0,b0,a+b=1,由基本不等式得ab = ,当且仅当a=b= 时等号成立.abm恒成立,m .(+2 )214 12 14(2)a,b(0,+),且a+b=1, + = (a+
12、b)=5+ + 9,当且仅当a=2b= 时,等号成立 .41(4+1) 4 23故要使 + |2x-1|-|x+2| 恒成立,则|2x-1|-|x+2|9,41当x-2时,不等式可化为1-2x+x+29,得-6x-2;当-20时,- x .2 4因为不等式f(x)3的解集是x|-1x2,所以 解得a=2.-2=-1,4=2, 当a .()+(-)3 23解得k 或k0,n0, ,143故有 + 2 ,当且仅当m=n= 时取等号.11 1433 32所以 + 的最小值为 .11 433C组 20162018年模拟方法题组方法1 含有两个绝对值的不等式的解法1.(2018河南开封定位考试,23)已
13、知函数f(x)=|x-m|,m- ,解得m-2,2由于m1的解集;14(2)若不等式f(x)0在x2,3时恒成立,求a的取值范围.解析 (1)a=1,f(x)1|x-1|-2|x+1|1 或 或-1,-+1+2(+1)1 -11 1,-1-2(+1)1,解得-20在x2,3时恒成立|x-1|-2|x+a|0在x2,3时恒成立|2x+2a|1.|1-|解析 (1)由已知,令f(x)=|x+1|-|x-1|= 2,1,2,-11,只需证|1-abc|ab-c|,|1-|只需证1+a 2b2c2a2b2+c2,只需证1-a 2b2c2(1-a2b2),只需证(1-a 2b2)(1-c2)0,由a,b
14、,cA,得-10恒成立.综上, 1.|1-|4.(2017四川广安等四市一模,23)已知函数f(x)=|x+b 2|-|-x+1|,g(x)=|x+a2+c2|+|x-2b2|,其中a,b,c均为正实数,且ab+bc+ac=1.(1)当b=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)当xR时,求证f(x)g(x).15解析 (1)当b=1时,f(x)= -2,-1,2,-11,2,1. 当x-1时,f(x)=-21,不等式 f(x)1无解;当-1x1时,由f(x)=2x1,解得x ,所以 x1;12 12当x1时,f(x)=21恒成立.所以f(x)1的解集为 .12,+)(2)证明:当xR时,f(x)=|x+b 2|-|-x+1|x+b 2+(-x+1)|=|b2+1|=b2+1.g(x)=|x+a2+c2|+|x-2b2|x+a 2+c2-(x-2b2)|=a2+c2+2b2.a2+c2+2b2-(b2+1)=a2+c2+b2-1= (a2+b2+b2+c2+c2+a2)-112 (2ab+2bc+2ac)-112=ab+bc+ac-1=0,当且仅当a=b=c= 时,等号成立.33所以a 2+c2+2b2b 2+1,因此,当xR时,f(x)b 2+1a 2+c2+2b2g(x),因此,当xR时,f(x)g(x).
