1、1专题研究1 递推数列的通项的求法1(2018海南三亚一模)在数列1，2， ， ， ，中，2 是这个数列的第( )项( )7 10 13 19A16 B24C26 D28答案 C解析 设题中数列a n，则a 11 ，a 22 ，a 3 ，a 4 ，a 5 ，所以a n .令1 4 7 10 13 3n 22 ，解得n26.故选C.3n 2 19 762设数列a n的前n项和S nn 2，则a 8的值为( )A15 B16C49 D64答案 A解析 a 1S 11，a nS nS n1 n 2(n1) 22n1(n2)a 828115.故选A.3已知数列a n满足a 10，a n1 a n2n，
2、则a 2 017等于( )A2 0172 018 B2 0162 017C2 0152 016 D2 0172 017答案 B解析 累加法易知选B.4已知数列x n满足x 11，x 2 ，且 (n2)，则x n等于( )23 1xn 1 1xn 1 2xnA( )n1 B( )n23 23C. D.n 12 2n 1答案 D解析 由关系式易知 为首项为 1，d 的等差数列， ，所以x n .1xn 1x1 12 1xn n 12 2n 15已知数列a n中a 11，a n an1 1(n2)，则a n( )12A2( )n1 B( )n1 212 12C22 n1 D2 n1答案 A解析 设a
3、 nc (an1 c)，易得c2，所以a n2(a 12)( )n1 ( )n1 ，所以选A.12 12 126若数列a n的前n项和为S n an3，则这个数列的通项公式a n( )32A2(n 2n1) B23 n2C32 n D3n1答案 B解析 a nS nS n1 ，可知选B.7(2018云南玉溪一中月考)已知正项数列a n中，a 11，a 22，2a n2a n1 2a n1 2(n2)，则a 6的值为( )A2 B42C8 D16答案 B解析 因为正项数列a n中，a 11，a 22，2a n2a n1 2a n1 2(n2)，所以a n2a n1 2a n1 2a n2(n2)
4、，所以数列a n2是以1为首项，a 22a 123为公差的等差数列，所以a n213(n1)3n2，所以a 6216.又因为a n0，所以a 64，故选B.8(2018华东师大等四校联考)已知数列a n满足：a 1 ，对于任意的nN *，a n1 an(1a n)，则a 1 17 72413a 1 314( )A B.27 27C D.37 37答案 D解析 根据递推公式计算得a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，可以归纳通项公式为17 72 17 67 37 72 37 47 67 72 67 17 37：当n为大于1的奇数时，a n ；当n为正偶数时，a n .故a 1 413a 1 3
5、14 .故选D.67 37 379(2018湖南衡南一中段考)已知数列a n，若a 12，a n1 a n2n1，则a 2 016( )A2 011 B2 012C2 013 D2 014答案 C解析 因为a 12，故a 2a 11，即a 21.又因为a n1 a n2n1，a na n1 2n3，故a n1 a n1 2，所以a 4a 22，a 6a 42，a 8a 62，a 2 016a 2 0142，将以上1 007个等式两边相加可得a 2 016a 221 0072 014，所以a 2 0062 01412 013，故选C.10在数列a n中，a 13，a n1 a n ，则通项公式a
6、 n_1n（ n 1）答案 41n解析 原递推式可化为a n1 a n ，1n 1n 13则a 2a 1 ，a 3a 2 ，11 12 12 13a4a 3 ，a na n1 .13 14 1n 1 1n逐项相加，得a na 11 .又a 13，故a n4 .1n 1n11已知数列a n满足a 11，且a n1 (nN *)，则数列a n的通项公式为_an3an 1答案 a n13n 2解析 由已知，可得当n1时，a n1 .an3an 1两边取倒数，得 3.1an 1 3an 1an 1an即 3，所以 是一个首项为 1，公差为3的等差数列1an 1 1an 1an 1a1则其通项公式为 (
7、n1)d1(n1)33n2.1an 1a1所以数列a n的通项公式为a n .13n 212在数列a n中，a 11，当n2时，有a n3a n1 2，则a n_答案 23 n1 1解析 设a nt3(a n1 t)，则a n3a n1 2t.t1，于是a n13(a n1 1)a n1是以a 112为首项，以3为公比的等比数列a n23 n1 1.13在数列a n中，a 12，a n2a n1 2 n1 (n2)，则a n_答案 (2n1)2 n解析 a 12，a n2a n1 2 n1 (n2)， 2.令b n ，则b nb n1 2(n2)，b 11.an2n an 12n 1 an2n
8、b n1(n1)22n1，则a n(2n1)2 n.14已知数列a n的首项a 1 ，其前n项和S nn 2an(n1)，则数列a n的通项公式为_12答案 a n1n（ n 1）解析 由a 1 ，S nn 2an，12S n1 (n1) 2an1 .，得a nS nS n1 n 2an(n1) 2an1 ，即a nn 2an(n1) 2an1 ，亦即 (n2)anan 1 n 1n 14 .ana1 anan 1 an 1an 2 a3a2 a2a1 n 1n 1 n 2n n 3n 1 24 13 2n（ n 1）a n .1n（ n 1）15(2017太原二模)已知数列a n满足a 11
9、，a na n1 (nN *)，则a n_2anan 1n（ n 1）答案 n3n 2解析 由a na n1 得 2( )，则由累加法得 2(1 )，又因为a 12anan 1n（ n 1） 1an 1 1an 2n（ n 1） 1n 1n 1 1an 1a1 1n1，所以 2(1 )1 ，所以a n .1an 1n 3n 2n n3n 216(2018河北唐山一中模拟)已知首项为7的数列a n满足 n i 23 n1 (nN *)，则数列a n的通项公式为_ai2i 1答案 a n 7（ n 1） ，6n（ n 2） ， )解析 当n2时， 3 n，又 3 n1 ，两式相减，得 23 n，所
10、以a n6 n.由于a 17不符合an 1i 2 ai2i 1ni 2 ai2i 1 an2n 1n6 n，所以数列a n的通项公式为a n 7（ n 1） ，6n（ n 2） .)17数列a n的前n项和为S n，且S nn(n1)(nN *)(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足：a n ，求数列b n的通项公式b13 1 b232 1 b333 1 bn3n 1答案 (1)a n2n (2)b n2(3 n1)解析 (1)当n1时，a 1S 12，当n2时，a nS nS n1 n(n1)(n1)n2n，知a 12满足该式，数列a n的通项公式为a n2n.(2)a n (
11、n1)，b13 1 b232 1 b333 1 bn3n 1a n1 .b13 1 b232 1 b333 1 bn3n 1 bn 13n 1 1，得 a n1 a n2，b n1 2(3 n1 1)bn 13n 1 1故b n2(3 n1)(nN *)1(2017衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是( )5A2 016 B2 015C. D.12 016 12 015答案 D解析 如果把第n个a值记作a n，第1次运行后得到a 2 ，第2次运行后得到a 3 ，第n次运行后得到a na1a1 1 a2a2 11 ，则这个程序框图的功能是计算数列a n的第2 anan 1015项将a n
12、1 变形为 1，故数列 是首项为1，公差为1的等差数列，故 n，即a nanan 1 1an 1 1an 1an 1an，所以输出结果是 .故选D.1n 12 0152若数列a n满足a 11，a n1 2 nan，则数列a n的通项公式a n_答案 2n（ n 1）2解析 由于 2 n，故 2 1， 2 2， 2 n1 ，将这n1个等式叠乘，得 2 12(n1) 2an 1an a2a1 a3a2 anan 1 ana1，故a n2 .n（ n 1）2n（ n 1）23已知S n为数列a n的前n项， a n2(n2)，且a 12，则a n的通项公式为_a12 a23 a34 an 1n_答案 a nn1解析 a n2(n2)，当n2时， a 22，解得a 23. a12 a23 a34 an 1n a12 a12 a23 a34 a n1 2， a n1 2(a n2)(n2)，得 (n2)， an 1n ann 1 ann 1 an 1n 2 ann 1 an 1n 2 ann 1 a231，a nn1(n2)，当n1时也满足，故a nn1.
