1、1专题研究 平面向量的综合应用1设 a， b是非零向量，若函数f(x)(x a b)(ax b)的图像是一条直线，则必有( )A a b B a bC| a| b| D| a| b|答案 A解析 f(x)(x a b)(ax b)的图像是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数或常函数而(x a b)(ax b)x 2ab( a2 b2)x ab，故 ab0，即 a b，故应选A.2在平行四边形ABCD中， a， b，则当( a b)2( a b)2时，该平行四边形为( )AB AD A菱形 B矩形C正方形 D以上都不正确答案 B解析 在平行四边形中， a b ，AB AD AC a b
2、 ，| a b| a b|，| | |，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B.AB AD DB AC DB 3已知向量 a(1，sin)， b(1，cos)，则| a b|的最大值为( )A1 B. 2C. D23答案 B解析 a(1，sin)， b(1，cos)， a b(0，sincos)| a b| .02 （ sin cos ） 2 1 sin2| a b|最大值为 .故选B.24已知A，B是圆心为C半径为 的圆上两点，且| | ，则 等于( )5 AB 5 AC CB A B.52 52C0 D.5 32答案 A解析 由于弦长|AB| 与半径相同，则ACB60 | | |cosACB
3、5 AC CB CA CB CA CB cos60 .5 5525(2017保定模拟)若O是ABC所在平面内一点，且满足| | 2 |，则ABC的形状是( OB OC OB OC OA )A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形2答案 B解析 2 ， ，OB OC OA OB OA OC OA AB AC OB OC CB AB AC | | | |2| |2 0，AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC 三角形为直角三角形，故选B.6(2015山东，理)已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则 ( )BD CD A a2 B a232 34C. a2 D.
4、 a234 32答案 D解析 在菱形ABCD中， ， ，所以 ( ) a 2aacos60BA CD BD BA BC BD CD BA BC CD BA CD BC CD a2 a2 a2.12 327(2017课标全国，理)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 ( )的最小PA PB PC 值是( )A2 B32C D143答案 B解析 如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0， )，B(1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则 (x， y)，3 PA 3(1x，y)， (1x，y)，所以 ( )(x，
5、y)(2x，PB PC PA PB PC 32y)2x 22(y )2 ，当x0，y 时， ( )取得最小值，为 ，32 32 32 PA PB PC 32选B.8在ABC中， a， b， c，且 ab bc ca，则ABC的形状是( )BC CA AB A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形答案 D解析 因 a， b， c均为非零向量，且 ab bc，得 b(a c)0 b( a c)又 a b c0 b( a c)，( a c)(a c)0 a2 c2，得 |a| |c|.同理 |b| |a|， |a| |b| |c|.3故ABC为等边三角形9(2018天津模拟)已知ABC是
6、边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则 的值为( )AF BC A B.58 18C. D.14 118答案 B解析 如图以直线AC为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(1，0)，B( ， )，F(1， )，12 32 34 (1， )， ( ， )AF 34 BC 12 32 ，选B.AF BC 12 38 1810(2018安徽师大附中月考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量 与 关于y轴对称，向量 a(1，0)，则OA OB 满足不等式 2 a 0的点A(x，y)的集合用阴影表示为( )OA AB 答案 B
7、解析 A(x，y)，向量 与 关于y轴对称，B(x，y)， (2x，0) 2 a 0，x 2y 22x(xOA OB AB OA AB 1) 2y 210，故满足要求的点在以(1，0)为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部故选B.11(2016四川)在平面内，定点A，B，C，D满足| | | |， 2，动点DA DB DC DA DB DB DC DC DA P，M满足| |1， ，则| |2的最大值是( )AP PM MC BM A. B.434 4944C. D.37 6 34 37 2 334答案 B解析 由| | | |知，D为ABC的外心由 知，D为ABC的垂心，所以ABC为正DA DB
8、 DC DA DB DB DC DC DA 三角形，易知其边长为2 .取AC的中点E，因为M是PC的中点，所以EM AP ，所以| |max|BE| ，312 12 BM 12 72则| |max2 ，选B.BM 49412(2015山东，文)过点P(1， )作圆x 2y 21的两条切线，切点分别为A，B，则 _3 PA PB 答案 32解析 在平面直角坐标系xOy中作出圆x 2y 21及其切线PA，PB，如图所示连接OA，OP，由图可得|OA|OB|1，|OP|2，| | | ，APOBPO ，则 ， 的夹PA PB 3 6 PA PB 角为 ，所以 | | |cos . 3 PA PB P
9、A PB 3 3213在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若 1，则AB的长为_AC BE 答案 12解析 如图所示，在平行四边形ABCD中， ，AC AB AD .BE BC CE 12AB AD 所以 ( )( ) | |2| |2 | |2 | |11，解方程得| |AC BE AB AD 12AB AD 12AB AD 12AB AD 12AB 14AB AB (舍去| |0)，所以线段AB的长为 .12 AB 1214设F为抛物线y 24x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若 0，则| | | |_FA FB FC FA FB FC _答案 6解析 设A(x
10、1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，又F(1，0)，所以 (x 1x 2x 33，y 1y 2y 3)0，得x 1FA FB FC x 2x 33.又由抛物线定义可得| | | |(x 11)(x 21)(x 31)6.FA FB FC 15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是 的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OAAB 56，则 _MC ND 答案 26解析 连接OC、OD、MC、ND，则 ( )( ) 46618MC ND MO OC NO OD MO NO MO OD NO OC OC OD 26.16(2014陕西)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)
11、，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上，且 m n (m，nR)OP AB AC (1)若mn ，求| |；23 OP (2)用x，y表示mn，并求mn的最大值答案 (1)2 (2)12解析 (1)mn ， (1，2)， (2，1)，23 AB AC (1，2) (2，1)(2，2)OP 23 23| | 2 .OP 22 22 2(2) m(1，2)n(2，1)(m2n，2mn)，OP x m 2n，y 2m n.)两式相减，得mnyx.令mnt，由图知，当直线yxt过点B(2，3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.17(2017江西上饶中学调研)已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 m(sinA，sinB)， n(cosB，cosA)， mnsin2C.(1)求角C的大小；(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且 ( )18，求c边的长CA AB AC 答案 (1) (2)6 3解析 (1) mnsinAcosBsinBcosAsin(AB)，对于ABC，ABC，00，只需再比较I 1与I 3的大小作AGBD于G，又ABAD，OB ，即I 1I3，I 3I1I2，故选C.OD OA OB OC OD
