1、1第一讲 算法、复数、推理与证明年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析卷 复数除法运算及模的运算T 2复数乘法运算T 1卷程序框图问题T 82018卷 复数的乘法运算T 2循环结构程序框图的判断条件问题T 10卷复数的运算与纯虚数概念T 3循环结构程序框图的结果输出问题T 10复数的乘法运算T 2卷推理问题T 9循环结构程序框图的输入值的判断T 82017卷复数的几何意义T 2循环结构程序框图的输出功能T 10卷复数的概念与运算T 2循环结构程序框图的输出功能(以秦九韶算法为背景)T 9共轭复数T 2卷推理问题T 16循环结构程序框图的输出功能T 82016卷共轭复数，复数的基本运算T 21
2、.程序框图是每年高考的必考内容，主要考查循环结构的程序框图的输出功能以及判断框内循环体结束条件的填充，多为选择题或填空题，试题难度不大2.对复数的考查，难度一般为容易，常在选择题或填空题的前两题的位置呈现一般考查三个方面：一是复数的概念，如实部、虚部、模、共轭复数等；二是复数的四则运算；三是复数的几何意义3.推理与证明考查频次较低.复数授课提示：对应学生用书第 56 页悟通方法结论21复数 z a bi(a， bR)的分类(1)z 是实数 b0；(2)z 是虚数 b0；(3)z 是纯虚数 a0 且 b0.2共轭复数复数 a bi(a， bR)的共轭复数是 a bi(a， bR)3复数的四则运算
3、法则(1)(a bi)(c di)( ac)( bd)i；(2)(a bi)(c di)( ac bd)( bc ad)i；(3)(a bi)(c di) i(a， b， c， dR)ac bdc2 d2 bc adc2 d2提醒：记住以下结论，可提高运算速度(1)(1i)22i；(2) i；(3) i；(4) b ai；(5)1 i1 i 1 i1 i a biii4n1，i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i( nN)全练快速解答1(2018高考全国卷)设 z 2i，则| z|( )1 i1 iA0 B.12C1 D. 2解析： z 2i 2i 2ii，1 i1 i 1 i21 i
4、1 i 2i2| z|1.故选 C.答案：C2(2017高考全国卷)设复数 z 满足(1i) z2i，则| z|( )A. B.12 22C. D22解析：法一：由(1i) z2i 得 z 1i，2i1 i| z| .2故选 C.法二：2i(1i) 2，由(1i) z2i(1i) 2，得 z1i，3| z| .2故选 C.答案：C3(2017高考全国卷)设有下面四个命题：p1：若复数 z 满足 R，则 zR；1zp2：若复数 z 满足 z2R，则 zR；p3：若复数 z1， z2满足 z1z2R，则 z1 2；zp4：若复数 zR，则 R.z其中的真命题为( )A p1， p3 B p1， p
5、4C p2， p3 D p2， p4解析：设 z a bi(a， bR)， z1 a1 b1i(a1， b1R)， z2 a2 b2i(a2， b2R)对于 p1，若 R，即 R，则 b0 z a bi aR，所以 p1为真命1z 1a bi a bia2 b2题对于 p2，若 z2R，即( a bi)2 a22 abi b2R，则 ab0.当 a0， b0 时， z a bi biR，所以 p2为假命题对于 p3，若 z1z2R，即( a1 b1i)(a2 b2i)( a1a2 b1b2)( a1b2 a2b1)iR，则a1b2 a2b10.而 z1 2，即 a1 b1i a2 b2ia1
6、a2， b1 b2.因为 a1b2 a2b10 / za1 a2， b1 b2，所以 p3为假命题对于 p4，若 zR，即 a biR，则 b0 a bi aR，所以 p4为真命题z故选 B.答案：B4(2017高考天津卷)已知 aR，i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为a i2 i_解析： aR， i 为实数，a i2 i a i2 i2 i2 i 2a 1 a 2i5 2a 15 a 250， a2.a 25答案：2【类题通法】4复数的概念及运算问题的解题技巧(1)与复数有关的代数式为纯虚数的问题，可设为 mi(mR 且 m0)，利用复数相等求解(2)与复数模、共轭复数、复数相等有关
7、的问题，可设 z a bi(a， bR)，利用待定系数法求解算法授课提示：对应学生用书第 57 页悟通方法结论算法的两种基本逻辑结构(1)循环结构分为当型和直到型两种(2)当型循环在每次执行循环体前对控制循环的条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足时则停止(3)直到型循环在执行了一次循环体后，对控制循环的条件进行判断，当条件不满足时执行循环体，满足则停止全练快速解答1(2017高考全国卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的 a1，则输出的S( )A2 B3 C4 D5解析：当 K1 时， S0(1)11， a1，执行 K K1 后， K2；当 K2 时， S1121， a1，执行 K K
8、1 后， K3；5当 K3 时， S1(1)32， a1，执行 K K1 后， K4；当 K4 时， S2142， a1，执行 K K1 后， K5；当 K5 时， S2(1)53， a1，执行 K K1 后， K6；当 K6 时， S3163，执行 K K1 后， K76.输出 S3.结束循环故选 B.答案：B2(2017高考全国卷)执行如图所示的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为( )A5 B4C3 D2解析：假设 N2，程序执行过程如下：t1， M100， S0，12， S0100100， M 10， t2，1001022， S1001090， M 1
9、， t3， 101032，输出 S9091.符合题意 N2 成立显然 2 是最小值故选 D.答案：D3(2018高考全国卷)为计算 S1 ，设计了如图所示的12 13 14 199 1100程序框图，则在空白框中应填入( )6A i i1 B i i2C i i3 D i i4解析：把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下.循环次数 50 N 0110 11 130 11 13 15 0 11 13 15 199T 0120 12 140 12 14 16 0 12 14 16 1100S 1121 12 13 141 12 13 14 15 16 1 12 13 14 199 1100因为
10、 N N ，由上表知 i 是 135，所以 i i2.1i故选 B.答案：B4(2018西安八校联考)如图是求样本 x1， x2， x10的平均数 的程序框图，则空x白框中应填入的内容为( )7A S S xn B S SxnnC S S n D S Sxn10解析：由题可知，该程序的功能是求样本 x1， x2， x10的平均数 ，由于“输出 x x”的前一步是“ ”，故循环体的功能是累加各样本的值，故应为 S S xn.xSn答案：A【类题通法】解答程序框图(流程图)问题的方法(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的
11、科学计算中，都有循环结构(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律.推理与证明授课提示：对应学生用书第 58 页悟通方法结论两种合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程： 试 验 、 观 察 概 括 、 推 广 猜 测 一 般 结 论(2)类比推理的思维过程： 试 验 、 观 察 联 想 、 类 推 猜 测 新 的 结 论全练快速解答1(2017高考全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀
12、，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则( )A乙可以知道四人的成绩8B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩解析：依题意，四人中有 2 位优秀，2 位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有 1 位优秀，1 位良好，甲、丁必有 1 位优秀，1 位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选 D.答案：D2(2018日照模拟)在平面几何中有如下结论：若正三角形 ABC 的内切圆面积为S1，外接圆面积为 S
13、2，则 .推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体 ABCDS1S2 14的内切球体积为 V1，外接球体积为 V2，则 _.V1V2解析：设正四面体 ABCD 的棱长为 a，高为 h，四个面的面积均为 S，内切球半径为 r，外接球半径为 R，则由 413Sr Sh，得 r h a a.13 14 14 63 612由相似三角形的性质可得 R a，64所以 3 .V1V2 (rR) 127答案：1273根据下面一组等式：s11，s2235，s345615，s47891034，s5111213141565，s6161718192021111，可得 s1 s3 s5 s2n1 _.解析： n1
14、 时，结果为 s111 4；n2 时，结果为 s1 s3115162 4；n3 时，结果为 s1 s3 s51665813 4；9由此可以推知 s1 s3 s5 s2n1 n4.答案： n4【类题通法】合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先把已知的部分个体适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性授课提示：对应学生用书第 135 页一、选择题1(2018福州四校联考)如果复数 z ，则( )2 1 iA z 的共轭复数为 1i B z 的实部
15、为 1C| z|2 D z 的实部为1解析： z 1i， z 的实部为1，故选 D.2 1 i 2 1 i 1 i 1 i 2 2i2答案：D2(2018辽宁五校联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的 x10，则输出的y( )10A0 B1C8 D27解析：开始 x10，满足条件 x0， x7；满足条件 x0， x4，满足条件x0， x1；满足条件 x0， x2，不满足条件 x0，不满足条件 y2 38.故输出的y8.故选 C.答案：C3i 是虚数单位，则复数 i(2 018i)在复平面内对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：复数 i(2 018i)12 018
16、i，在复平面内对应的点为(1,2 018)，故选 A.答案：A4(2018广州模拟)若复数 z 满足(12i) z1i，则| z|( )A. B.25 35C. D.105 10解析：法一：由(12i) z1i，可得 z 1 i1 2i 1 i1 2i1 2i1 2i 1 2i i 25 i，所以| z| ，选 C.15 35 1 95 105法二：由(12i) z1i 可得|(12i) z|1i|，即|12i| z|1i|，得到|z| ，故 |z| ，选 C.5 2105答案：C5(2018南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄
17、和农民不同；农民的年龄比乙小根据以上情况，下列判断正确的是( )A甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大” ，可知甲是知识分子，故乙是工人所以选 C.答案：C116(2018沈阳模拟)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 0 时，输入的 x 的值为( )A3 B3 或 9C3 或9 D9 或3解析：当输出的 y0 时，若 x0，则 y( )x80，解得 x3，若 x0，则12
18、y2log 3x0，解得 x9，两个值都符合题意，故选 B.答案：B7(2018长春模拟)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )A求首项为 1，公差为 2 的等差数列的前 2 017 项和B求首项为 1，公差为 2 的等差数列的前 2 018 项和C求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 009 项和D求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 010 项和解析：由程序框图可得 S1594 033，故该算法的功能是求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 009 项和故选 C.答案：C8(2018山西八校联考)已知 a， bR，i 为虚数单位，若 34i 3 ，则 a
19、 b2 bia i等于( )12A9 B5C13 D9解析：由 34i 3 得，34i ，即( ai)(34i)2 bi，(3 a4)2 bia i 2 bia i(4 a3)i2 bi，则Error!解得Error!故 a b9，故选 A.答案：A9(2018石家庄模拟)当 n4 时，执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为( )A9 B15C31 D63解析：执行程序框图，k1， S1； S3， k2； S7， k3； S15， k4； S31， k54，退出循环故输出的 S31，故选 C.答案：C10(2018西安八校联考)如图给出的是计算 的值的程序12 14 16 12 014
20、12 016框图，其中判断框内应填入的是( )A i2 014? B i2 016?C i2 018? D i2 020?解析：依题意得，13S0， i2； S0 ， i4； S0 ， i2 018 不满足，12 12 14 12 014 12 016输出的 S ，所以题中的判断框内应填入的是“ i2 016” 12 14 16 12 014 120 16答案：B11(2018重庆模拟)我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤问本持金几何 ”其意思为：今有人持金出五关，第 1 关收税金为
21、持金的 ，第 2 关收税金为剩余金的 ，第 3 关收税金为剩余金的 ，第 4 关收税金为剩余金12 13 14的 ，第 5 关收税金为剩余金的 ，5 关所收税金之和，恰好重 1 斤问此人总共持金多15 16少则在此问题中，第 5 关收税金( )A. 斤 B. 斤120 125C. 斤 D. 斤130 136解析：假设原来持金为 x，则第 1 关收税金 x；第 2 关收税金 (1 )x x；第12 13 12 1233 关收税金 (1 )x x；第 4 关收税金 (1 )x x；第 5 关收14 12 16 134 15 12 16 112 145税金 (1 )x x.依题意，得 x x x x
22、16 12 16 112 120 156 12 123 134 145x1，即(1 )x1， x1，解得 x ，所以 x .故选 B.156 16 56 65 156 156 65 125答案：B12(2018惠州调研)周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“ ”当作数字“1” ，把阴爻“ ”当作数字“0” ，则八卦所代表的数表示如下：卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数坤 000 0艮 001 1坎 010 2巽 011 3依次类推，则六十四卦中的“屯”卦
23、，符号为“ ”，其表示的十进制数是( )A33 B3414C36 D35解析：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“ ”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为 02012 102 202 302 412 534.故选 B.答案：B二、填空题13若 (a， bR)与(2i) 2互为共轭复数，则 a b_.a bii解析： b ai，(2i) 234i，因为这两个复数互为共轭复数，所a bii ia bii2以 b3， a4，所以 a b437.答案：714(2018昆明模拟)将数列 an中的所有项按每一行比上一行多 1 项的规则排成如下数阵：a1a2， a3a4， a5， a6a7
24、， a8， a9， a10若第 11 行左起第 1 个数为 am，则 m_.解析：要求这个数阵第 11 行左起的第 1 个数是这个数列中的第几项，只需求出这个数阵的前 10 行共有几项即可因为第 1 行有 1 项，且每一行都比上一行多 1 项，所以前 10行共有 12310 55 项，所以 m56.101 102答案：5615在学习等差数列这一节时，可以这样得到等差数列的通项公式：设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，根据等差数列的定义，可以得到a2 a1 d， a3 a2 d， an an1 d，将以上 n1 个式子相加，即可得到an a1( n1) d.“斐波那契数列”是数学史上一个
25、著名的数列，在“斐波那契数列” an中，令 a11， a21， a32， an2 an1 an(nN *)，当 a2 018t 时，根据上述方法可知数列 an的前 2 016 项和是_解析：由题意知， a3 a2 a1， a4 a3 a2， a2 018 a2 017 a2 016，将以上 2 016 个式子相加，可得 a2 018 a2 a1 a2 a2 016 S2 016.因为 a2 018t，所以 S2 016 t1.故答案为 t1.答案：t11516(2018重庆模拟)某学生的素质拓展课课表由数学、物理和体育三门学科组成，且各科课时数满足以下三个条件：数学课时数多于物理课时数；物理课
26、时数多于体育课时数；体育课时数的两倍多于数学课时数则该学生的素质拓展课课表中课时数的最小值为_解析：法一：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x， y， z，则由题意，得Error!则该学生的素质拓展课课表中的课时数为 x y z.设x y z p(x y) q(y z) r(2z x)( p r)x( p q)y( q2 r)z，比较等式两边的系数，得Error!解得 p4， q5， r3，则 x y z4( x y)5( y z)3(2 z x)45312，所以该学生的素质拓展课课表中的课时数的最小值为 12.法二：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为 x， y， z，则 2z x y z.由题意，知 z 的最小值为 3，由此易知 y 的最小值为 4， x 的最小值为 5，故该学生的素质拓展课课表中的课时数 x y z 的最小值为 12.答案：12
