1、1第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质一、选择题1(2018广西南宁模拟)双曲线 1 的渐近线方程为( )x225 y220A y x B y x45 54C y x D y x15 255解析：在双曲线 1 中， a5， b2 ，而其渐近线方程为 y x，其渐x225 y220 5 ba近线方程为 y x，故选 D.255答案：D2已知椭圆 C 的方程为 1( m0)，如果直线 y x 与椭圆的一个交点 M 在 xx216 y2m2 22轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为( )A2 B2 2C8 D2 3解析：根据已知条件得 c ，则点 在椭圆16 m2 (16 m2
2、，22 16 m2) 1( m0)上， 1，可得 m2 .x216 y2m2 16 m216 16 m22m2 2答案：B3(2018张掖模拟)双曲线 1( a0， b0)的渐近线与圆 x2( y2) 21 相x2a2 y2b2切，则双曲线的离心率为( )A. B.2 3C2 D3解析：双曲线 1 的渐近线与圆 x2( y2) 21 相切，则圆心(0,2)到直线x2a2 y2b2bx ay0 的距离为 1，所以 1，即 1，所以双曲线的离心率 e 2，故选 C.2aa2 b2 2ac ca答案：C4(2017高考全国卷)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右顶点分别为x2a2 y2b22A1，
3、 A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay2 ab0 相切，则 C 的离心率为( )A. B.63 33C. D.23 13解析：以线段 A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点 O(0,0)，半径为 a.由题意，圆心到直线 bx ay2 ab0 的距离为 a，即 a23 b2.又 e21 ，所以 e .2aba2 b2 b2a2 23 63答案：A5已知双曲线 1( a0， b0)的焦距为 4 ，渐近线方程为 2xy0，则双x2a2 y2b2 5曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 y216 x216 y24C. 1 D. 1x216 y264 x264 y216解析：易知双曲线
4、 1( a0， b0)的焦点在 x 轴上，所以由渐近线方程为x2a2 y2b22xy0，得 2，因为双曲线的焦距为 4 ，所以 c2 ，结合 c2 a2 b2，可得ba 5 5a2， b4，所以双曲线的方程为 1，故选 A.x24 y216答案：A6(2018长春模拟)已知 O 为坐标原点，设 F1， F2分别是双曲线 x2 y21 的左、右焦点， P 为双曲线上任意一点，过点 F1作 F1PF2的平分线的垂线，垂足为 H，则| OH|( )A1 B2C4 D.12解析：不妨设 P 在双曲线的左支，如图，延长 F1H 交 PF2于点 M，由于 PH 既是 F1PF2的平分线又垂直于 F1M，故
5、 PF1M 为等腰三角形，| PF1| PM|且 H 为 F1M 的中点，所以 OH为 MF1F2的中位线，所以| OH| |MF2| (|PF2| PM|) (|PF2| PF1|)1.故选 A.12 12 123答案：A7(2018高考全国卷)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 ，则x2a2 y2b2 2点(4,0)到 C 的渐近线的距离为( )A. B22C. D2322 2解析：由题意，得 e ， c2 a2 b2，得 a2 b2.又因为 a0， b0，所以ca 2a b，渐近线方程为 xy0，点(4,0)到渐近线的距离为 2 ，42 2故选 D.答案：D8(2018石家
6、庄一模)已知直线 l： y2 x3 被椭圆 C： 1( a b0)截得的x2a2 y2b2弦长为 7，有下列直线： y2 x3； y2 x1； y2 x3； y2 x3.其中被椭圆 C 截得的弦长一定为 7 的有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：易知直线 y2 x3 与直线 l 关于原点对称，直线 y2 x3 与直线 l 关于 x轴对称，直线 y2 x3 与直线 l 关于 y 轴对称，故由椭圆的对称性可知，有 3 条直线被椭圆 C 截得的弦长一定为 7.选 C.答案：C9(2018洛阳模拟)设双曲线 C： 1 的右焦点为 F，过 F 作双曲线 C 的渐近x216 y29线的垂线，
7、垂足分别为 M， N，若 d 是双曲线上任意一点 P 到直线 MN 的距离，则 的值d|PF|为( )A. B.34 45C. D无法确定54解析：双曲线 C： 1 中， a4， b3， c5，右焦点 F(5,0)，渐近线方程为x216 y29y x.不妨设 M 在直线 y x 上， N 在直线 y x 上，则直线 MF 的斜率为 ，其方34 34 34 43程为 y (x5)，设 M(t， t)，代入直线 MF 的方程，得 t (t5)，解得 t ，43 34 34 43 1654即 M( ， )由对称性可得 N( ， )，所以直线 MN 的方程为 x .设 P(m， n)，则165 125
8、 165 125 165d| m |， 1，即 n2 (m216)，则| PF| |5m16|.故165 m216 n29 916 m 5 2 n2 14 ，故选 B.d|PF|m 165|14|5m 16| 45答案：B10(2018高考全国卷)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为的直线与 C 交于 M， N 两点，则 ( )23 FM FN A5 B6 C7 D8解析：由题意知直线 MN 的方程为 y (x2)，23联立直线与抛物线的方程，得Error!解得Error! 或Error!不妨设 M 为(1,2)， N 为(4,4)又抛物线焦点为 F(1,0)， (
9、0,2)， (3,4)，FM FN 03248.FM FN 故选 D.答案：D11(2018广西五校联考)已知点 F1， F2分别是双曲线 1( a0， b0)的左、x2a2 y2b2右焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 M， N 两点，若 10，则该双曲线MF1 NF 的离心率 e 的取值范围是( )A( ， 1) B(1， 1)2 2 2C(1， ) D( ，)3 3解析：设 F1( c,0)， F2(c,0)，依题意可得 1，得到 y ，c2a2 y2b2 b2a不妨设 M ， N ，(c，b2a) (c， b2a)则 1 1 4 c2 0，MF NF ( 2c， b2a)
10、 ( 2c， b2a) b4a25得到 4a2c2( c2 a2)20，即 a4 c46 a2c20，故 e46 e210，解得 32 e232 ，2 2又 e1，所以 1 e232 ，2解得 1 e1 2答案：B12(2018南昌模拟)抛物线 y28 x 的焦点为 F，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)是抛物线上的两个动点，若 x1 x24 |AB|，则 AFB 的最大值为( )233A. B. 3 34C. D.56 23解析：由抛物线的定义可得| AF| x12，| BF| x22，又 x1 x24 |AB|，233得| AF| BF| |AB|，233所以| AB| (|AF
11、| BF|)32所以 cos AFB|AF|2 |BF|2 |AB|22|AF|BF|AF|2 |BF|2 32(|AF| |BF|)22|AF|BF|14|AF|2 14|BF|2 32|AF|BF|2|AF|BF| 2 ，而 0 AFB，18(|AF|BF| |BF|AF|) 34 18 |AF|BF|BF|AF| 34 12所以 AFB 的最大值为 .23答案：D二、填空题13(2018成都模拟)已知双曲线 1( a0)和抛物线 y28 x 有相同的焦点，x2a2 y22则双曲线的离心率为_6解析：易知抛物线 y28 x 的焦点为(2,0)，所以双曲线 1 的一个焦点为(2,0)，x2a
12、2 y22则 a222 2，即 a ，所以双曲线的离心率 e .2ca 22 2答案： 214(2018武汉调研)双曲线 ： 1( a0， b0)的焦距为 10，焦点到渐近y2a2 x2b2线的距离为 3，则 的实轴长等于_解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线 y x，即 ax by0 的距离为ab b3，所以 a4,2 a8.|5b|a2 b2 5bc答案：815(2018唐山模拟)过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A， B 两点，若| AF|2| BF|6，则 p_.解析：设 AB 的方程为 x my ， A(x1， y1)， B(x2， y2)，且 x1 x2，
13、将直线 AB 的方程p2代入抛物线方程得 y22 pmy p20，所以 y1y2 p2,4x1x2 p2.设抛物线的准线为 l，过A 作 AC l，垂足为 C，过 B 作 BD l，垂足为 D，因为| AF|2| BF|6，根据抛物线的定义知，| AF| AC| x1 6，| BF| BD| x2 3，所以 x1 x23， x1 x29 p，p2 p2所以( x1 x2)2( x1 x2)24 x1x2 p2，即 18p720，解得 p4.答案：416(2017高考全国卷改编)设 A， B 是椭圆 C： 1 长轴的两个端点若 Cx23 y2m上存在点 M 满足 AMB120，则 m 的取值范围
14、是_解析：当 0 m3 时，焦点在 x 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 AMB120，则 tan 60 ，即 ，ab 3 3m 3解得 0 m1.当 m3 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 AMB120，则 tan 60 ，即 ，解得 m9.ab 3 m3 3故 m 的取值范围为(0,19，)答案：(0,19，)7三、解答题17(2018辽宁五校联考)已知椭圆 C： 1( a b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，上顶点为 B，若 BF1F2的周长为 6，且点 F1到直线 BF2的距离为 b.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 A1， A2是椭圆 C 长
15、轴的两个端点， P 是椭圆 C 上不同于 A1， A2的任意一点，直线A1P 交直线 x m 于点 M，若以 MP 为直径的圆过点 A2，求实数 m 的值解析：(1)由题意得 F1( c,0)， F2(c,0)， B(0， b)，则 2a2 c6，直线 BF2的方程为 bx cy bc0，所以 b，即 2c a，| bc bc|c2 b2又 a2 b2 c2，所以由可得 a2， b ，3所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)不妨设 A1(2,0)， A2(2,0)， P(x0， y0)，则直线 A1P 的方程为 y (x2)，y0x0 2所以 M(m， (m2)，y0x0 2又点 P
16、 在椭圆 C 上，所以 y 3(1 )，20x204若以 MP 为直径的圆过点 A2，则 A2M A2P， 0，A2M A2P 所以( m2， (m2)( x02， y0)( m2)( x02) (m2)( m2)y0x0 2 y20x0 2(x02) (m2)( x02)( m )0.3 1 x204x0 2 14 72又点 P 不同于点 A1， A2，所以 x02，所以 m14.18(2018广州模拟)如图，在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1( a b0)的y2a2 x2b2上焦点为 F1，椭圆 C 的离心率为 ，且过点(1， )12 263(1)求椭圆 C 的方程；(2)设过椭圆
17、C 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于点 B(B 不在 y 轴上)，垂直于 l 的直8线与 l 交于点 M，与 x 轴交于点 H，若 0，且| MO| MA|，求直线 l 的方程F1B F1H 解析：(1)因为椭圆 C 的离心率为 ，所以 ，即 a2 c.12 ca 12又 a2 b2 c2，所以 b23 c2，即 b2 a2，所以椭圆 C 的方程为 1.34 y2a2 x234a2把点(1， )代入椭圆 C 的方程中，解得 a24.263所以椭圆 C 的方程为 1.y24 x23(2)由(1)知， A(0,2)，设直线 l 的斜率为 k(k0)，则直线 l 的方程为 y kx2，由E
18、rror! 得(3 k24) x212 kx0.设 B(xB， yB)，得 xB ， 12k3k2 4所以 yB ， 6k2 83k2 4所以 B( ， ) 12k3k2 4 6k2 83k2 4设 M(xM， yM)，因为| MO| MA|，所以点 M 在线段 OA 的垂直平分线上，所以 yM1，因为 yM kxM2，所以 xM ，即 M( ，1)1k 1k设 H(xH,0)，又直线 HM 垂直于直线 l，所以 kMH ，即 .1k 1 1k xH 1k所以 xH k ，即 H(k ，0)1k 1k又 F1(0,1)，所以 ( ， )， ( k ，1)F1B 12k3k2 4 4 9k23k2 4 F1H 1k因为 0，所以 (k ) 0，F1B F1H 12k3k2 4 1k 4 9k23k2 4解得 k .2639所以直线 l 的方程为 y x2.263
