1、1第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析及学科素养卷 椭圆的离心率T 4双曲线的渐近线问题T 6卷椭圆的离心率T 112018卷双曲线的离心率与渐近线问题T 10双曲线的性质及应用T 5卷椭圆的综合应用T 12双曲线离心率的范围T 5卷抛物线的方程及应用T 12椭圆的离心率求法T 112017卷已知双曲线的渐近线求参数T 14卷 椭圆的离心率求法T 52016 卷 直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率求法T 12命题分析1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择、填空题的形式考查，常出现在第 411 或1516 题的位置，着重考查圆锥
2、曲线的几何性质与标准方程，难度中等2.圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第20 题的位置，一般难度较大学科素养通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模与数学运算三大核心素养.圆锥曲线的定义与标准方程授课提示：对应学生用书第 45 页悟通方法结论1圆锥曲线的定义(1)椭圆：| PF1| PF2|2 a(2a|F1F2|)；(2)双曲线： 2 a(2a0， b0)的渐近线方程为 y x.注意离心率 e 与渐近线的斜x2a2 y2b2 ba率的关系3抛物线方程中 p 的几何意义为焦点到准线的距离全练快速解答1(2018南宁、柳州联考
3、)已知双曲线 1( b0)的一个焦点与抛物线 y28 xx23 y2b的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A y x B y x13 33C y3 x D y x3解析：由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线 1 的一个焦点坐标是(2,0)，x23 y2b则 c2，且双曲线的焦点在 x 轴上，所以 3 b2 2，即 b1，于是双曲线的渐近线方程为 y x，故选 B.33答案：B2(2018贵阳模拟)椭圆 C： 1( a b0)的左顶点为 A，右焦点为 F，过点x2a2 y2b2F 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 P， Q 两点，若 cos PAQ ，则椭圆 C 的离心率 e 为(
4、 )35A. B.12 22C. D.33 23解析：根据题意可取 P(c， )， Q(c， )，所以b2a b2atan PAF 1 e，cos PAQcos b2aa c b2a2 ac a2 c2a2 ac a ca52 PAFcos 2 PAFsin 2 PAF cos2 PAF sin2 PAFcos2 PAF sin2 PAF 1 tan2 PAF1 tan2 PAF 1 1 e21 1 e2 35，故 55(1 e)233(1 e)28(1 e)22(1 e)2 .又椭圆的离心率 e 的取值范围14为(0,1)，所以 1 e ， e .故选 A.12 12答案：A3(2018惠州
5、模拟)已知 F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的两个焦点，过其y2a2 x2b2中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A(1,2) B(2，)C(1， ) D( ，)2 2解析：如图，不妨设 F1(0， c)， F2(0， c)，则过点 F1与渐近线 y x 平行的直线为aby x c，联立，得Error!解得Error!即 M( ， )因点 M 在以线段 F1F2为直径的圆ab bc2a c2x2 y2 c2内，故( )2( )2 c2，化简得 b23 a2，即 c2 a23 a
6、2，解得 2，又双曲bc2a c2 ca线的离心率 e 1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)故选 A.ca答案：A4(2018高考全国卷)已知点 M(1,1)和抛物线 C： y24 x，过 C 的焦点且斜率为k 的直线与 C 交于 A， B 两点若 AMB90，则 k_.解析：法一：设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error! y y 4( x1 x2)， k .21 2y1 y2x1 x2 4y1 y2设 AB 中点 M( x0， y0)，抛物线的焦点为 F，分别过点 A， B 作准线 x1 的垂线，垂足为 A， B，则| MM| |AB| (|AF| BF|)12
7、126 (|AA| BB|)12 M( x0， y0)为 AB 中点， M 为 A B的中点， MM平行于 x 轴， y1 y22， k2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为 F(1,0)，设直线方程为 y k(x1)，直线方程与 y24 x 联立，消去 y，得 k2x2(2 k24) x k20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1x21， x1 x2 .2k2 4k2由 M(1,1)，得 A (1 x1,1 y1)， B (1 x2,1 y2)M M 由 AMB90，得 A B 0，M M ( x11)( x21)( y11)( y21)0， x1x2( x1 x2)1
8、y1y2( y1 y2)10.又 y1y2 k(x11) k(x21) k2x1x2( x1 x2)1，y1 y2 k(x1 x22)，1 1 k2 k 10，2k2 4k2 (1 2k2 4k2 1) (2k2 4k2 2)整理得 10，解得 k2.4k2 4k答案：2【类题通法】1椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a， b， c 的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a， c 代换，求 的值ca2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零，分解因式可得(2)用法：可得 或 的值ba ab利用渐
9、近线方程设所求双曲线的方程直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系7授课提示：对应学生用书第 46 页悟通方法结论弦长问题设直线与圆锥曲线交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，若直线 AB 的斜率存在(设为 k)，则| AB| |x1 x2|或| AB| |y1 y2|(k0)，其中| x1 x2|1 k21 1k2，| y1 y2| ；若直线 AB 的斜率不存在，则直接求出x1 x22 4x1x2 y1 y22 4y1y2直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长(2017高考全国卷)(12 分)设 A， B 为曲线 C：(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线
10、C 上一点， C 在 M 处的切线与直线 求直线 AB的方程学审题条件信息 想到方法 注意什么信息：曲线 y 上两点x24A， B 的横坐标之和为 4设两点坐标，作两点坐标满足方程的差，结合斜率公式和横坐标的和来求解信息：切线平行直线 AB导数的几何意义，利用平行直线斜率相等可得 M 的坐标信息： AM BM ABM 为直角三角形及其性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(1)利用两点的斜率公式时，两点的横坐标应不相等(2)直线与曲线交于两点，联立方程消元后得到的一元二次方程的判别式大于 0规范解答 (1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2， y1 ， y2 ，
11、x1 x24，x214 x24(2 分)于是直线 AB 的斜率 k 1.y1 y2x1 x2 x1 x24(4 分)(2)由 y ，得 y .x24 x28设 M(x3， y3)，由题设知 1，x32解得 x32， (6 分)于是 M(2,1)设直线 AB 的方程为 y x m， (8 分)故线段 AB 的中点为 N(2,2 m)，| MN| m1|.将 y x m 代入 y ，得 x24 x4 m0.x24当 16( m1)0，即 m1 时， x1,222 .m 1从而| AB| |x1 x2|4 . (10 分)2 2m 1由题设知| AB|2| MN|，即 4 2( m1)，解得 m 7
12、(m1 舍去)2m 1所以直线 AB 的方程为 x y70. (12 分)【类题通法】直线与圆锥曲线的位置关系问题充分体现了方程思想，化归思想及数形结合思想，着重考查运算及推理能力，其解决的方法一般是：(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在进行讨论，或将直线方程设成 x my b 的形式；(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化为一元二次方程，利用判别式或根与系数的关系得到交点横坐标或纵坐标的关系练通即学即用1(2018高考全国卷)已知双曲线 C： y21， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，x23过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M， N.若 OM
13、N 为直角三角形，则| MN|( )A. B332C2 D43解析：由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y x.13设两渐近线夹角为 2 ，则有 tan ，所以 30.13 33所以 MON2 60.9又 OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设 MN ON，如图所示在 Rt ONF 中，| OF|2，则| ON| .3则在 Rt OMN 中，| MN| ON|tan 2 tan 603.3故选 B.答案：B2(2018洛阳模拟)已知短轴的长为 2 的椭圆 E： 1( a b0)，直线 n 的横、x2a2 y2b2纵截距分别为 a，1，且原点 O 到直线 n 的距离为 .32(1)求椭
14、圆 E 的方程；(2)直线 l 经过椭圆 E 的右焦点 F 且与椭圆 E 交于 A， B 两点，若椭圆 E 上存在一点 C满足 2 0，求直线 l 的方程OA 3OB OC 解析：(1)椭圆 E 的短轴的长为 2，故 b1.依题意设直线 n 的方程为 y1，由 ，解得 a ，故椭圆 E 的方程为xa 11a2 1 32 3 y21.x23(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)，当直线 l 的斜率为 0 时，显然不符合题意当直线 l 的斜率不为 0 或直线 l 的斜率不存在时， F( ，0)，设直线 l 的方程为2x ty ，2由Error! 得( t23) y
15、22 ty10，2 y1 y2 ， y1y2 ， 22tt2 3 1t2 3 2 0， x3 x1 x2， y3 y1 y2，OA 3OB OC 12 32 12 32又点 C 在椭圆 E 上， y ( x1 x2)2( y1 y2)2 ( y ) ( y ) ( x1x2 y1y2)x233 23 1312 32 12 32 14x213 21 34x23 2 32 131，又 y 1， y 1，x213 21 x23 2 x1x2 y1y20， 13将 x1 ty1 ， x2 ty2 及代入得 t21，即 t1 或 t1.2 210故直线 l 的方程为 x y 0 或 x y 0.2 2授
16、课提示：对应学生用书第 130 页一、选择题1(2018广西南宁模拟)双曲线 1 的渐近线方程为( )x225 y220A y x B y x45 54C y x D y x15 255解析：在双曲线 1 中， a5， b2 ，而其渐近线方程为 y x，其渐x225 y220 5 ba近线方程为 y x，故选 D.255答案：D2已知椭圆 C 的方程为 1( m0)，如果直线 y x 与椭圆的一个交点 M 在 xx216 y2m2 22轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为( )A2 B2 2C8 D2 3解析：根据已知条件得 c ，则点 在椭圆16 m2 (16 m2，22 16
17、m2) 1( m0)上， 1，可得 m2 .x216 y2m2 16 m216 16 m22m2 2答案：B3(2018张掖模拟)双曲线 1( a0， b0)的渐近线与圆 x2( y2) 21 相x2a2 y2b2切，则双曲线的离心率为( )A. B.2 3C2 D3解析：双曲线 1 的渐近线与圆 x2( y2) 21 相切，则圆心(0,2)到直线x2a2 y2b2bx ay0 的距离为 1，所以 1，即 1，所以双曲线的离心率 e 2，故选 C.2aa2 b2 2ac ca11答案：C4(2017高考全国卷)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右顶点分别为x2a2 y2b2A1， A2，且以
18、线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay2 ab0 相切，则 C 的离心率为( )A. B.63 33C. D.23 13解析：以线段 A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点 O(0,0)，半径为 a.由题意，圆心到直线 bx ay2 ab0 的距离为 a，即 a23 b2.又 e21 ，所以 e .2aba2 b2 b2a2 23 63答案：A5已知双曲线 1( a0， b0)的焦距为 4 ，渐近线方程为 2xy0，则双x2a2 y2b2 5曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 y216 x216 y24C. 1 D. 1x216 y264 x264 y216解析：易知双曲线 1( a0
19、， b0)的焦点在 x 轴上，所以由渐近线方程为x2a2 y2b22xy0，得 2，因为双曲线的焦距为 4 ，所以 c2 ，结合 c2 a2 b2，可得ba 5 5a2， b4，所以双曲线的方程为 1，故选 A.x24 y216答案：A6(2018长春模拟)已知 O 为坐标原点，设 F1， F2分别是双曲线 x2 y21 的左、右焦点， P 为双曲线上任意一点，过点 F1作 F1PF2的平分线的垂线，垂足为 H，则| OH|( )A1 B2C4 D.12解析：不妨设 P 在双曲线的左支，如图，延长 F1H 交 PF2于点 M，由于 PH 既是 F1PF2的平分线又垂直于 F1M，故 PF1M
20、为等腰三角形，| PF1| PM|且 H 为 F1M 的中点，所以 OH为 MF1F2的中位线，所以| OH| |MF2| (|PF2| PM|) (|PF2| PF1|)1.故选 A.12 12 1212答案：A7(2018高考全国卷)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 ，则x2a2 y2b2 2点(4,0)到 C 的渐近线的距离为( )A. B22C. D2322 2解析：由题意，得 e ， c2 a2 b2，得 a2 b2.又因为 a0， b0，所以ca 2a b，渐近线方程为 xy0，点(4,0)到渐近线的距离为 2 ，42 2故选 D.答案：D8(2018石家庄一模)已
21、知直线 l： y2 x3 被椭圆 C： 1( a b0)截得的x2a2 y2b2弦长为 7，有下列直线： y2 x3； y2 x1； y2 x3； y2 x3.其中被椭圆 C 截得的弦长一定为 7 的有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：易知直线 y2 x3 与直线 l 关于原点对称，直线 y2 x3 与直线 l 关于 x轴对称，直线 y2 x3 与直线 l 关于 y 轴对称，故由椭圆的对称性可知，有 3 条直线被椭圆 C 截得的弦长一定为 7.选 C.答案：C9(2018洛阳模拟)设双曲线 C： 1 的右焦点为 F，过 F 作双曲线 C 的渐近x216 y29线的垂线，垂足分别为
22、 M， N，若 d 是双曲线上任意一点 P 到直线 MN 的距离，则 的值d|PF|为( )A. B.34 4513C. D无法确定54解析：双曲线 C： 1 中， a4， b3， c5，右焦点 F(5,0)，渐近线方程为x216 y29y x.不妨设 M 在直线 y x 上， N 在直线 y x 上，则直线 MF 的斜率为 ，其方34 34 34 43程为 y (x5)，设 M(t， t)，代入直线 MF 的方程，得 t (t5)，解得 t ，43 34 34 43 165即 M( ， )由对称性可得 N( ， )，所以直线 MN 的方程为 x .设 P(m， n)，则165 125 165
23、 125 165d| m |， 1，即 n2 (m216)，则| PF| |5m16|.故165 m216 n29 916 m 52 n2 14 ，故选 B.d|PF|m 165|14|5m 16| 45答案：B10(2018高考全国卷)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为的直线与 C 交于 M， N 两点，则 ( )23 FM FN A5 B6 C7 D8解析：由题意知直线 MN 的方程为 y (x2)，23联立直线与抛物线的方程，得Error!解得Error! 或Error!不妨设 M 为(1,2)， N 为(4,4)又抛物线焦点为 F(1,0)， (0,2)，
24、 (3,4)，FM FN 03248.FM FN 故选 D.答案：D11(2018广西五校联考)已知点 F1， F2分别是双曲线 1( a0， b0)的左、x2a2 y2b2右焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 M， N 两点，若 10，则该双曲线MF1 NF 的离心率 e 的取值范围是( )A( ， 1) B(1， 1)2 2 214C(1， ) D( ，)3 3解析：设 F1( c,0)， F2(c,0)，依题意可得 1，得到 y ，c2a2 y2b2 b2a不妨设 M ， N ，(c，b2a) (c， b2a)则 1 1 4 c2 0，MF NF ( 2c， b2a) (
25、2c， b2a) b4a2得到 4a2c2( c2 a2)20，即 a4 c46 a2c20，故 e46 e210，解得 32 e232 ，2 2又 e1，所以 1 e232 ，2解得 1 e1 2答案：B12(2018南昌模拟)抛物线 y28 x 的焦点为 F，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)是抛物线上的两个动点，若 x1 x24 |AB|，则 AFB 的最大值为( )233A. B. 3 34C. D.56 23解析：由抛物线的定义可得| AF| x12，| BF| x22，又 x1 x24 |AB|，233得| AF| BF| |AB|，233所以| AB| (|AF| BF
26、|)32所以 cos AFB|AF|2 |BF|2 |AB|22|AF|BF|AF|2 |BF|2 32(|AF| |BF|)22|AF|BF|14|AF|2 14|BF|2 32|AF|BF|2|AF|BF| 2 ，而 0 AFB，18(|AF|BF| |BF|AF|) 34 18 |AF|BF|BF|AF| 34 1215所以 AFB 的最大值为 .23答案：D二、填空题13(2018成都模拟)已知双曲线 1( a0)和抛物线 y28 x 有相同的焦点，x2a2 y22则双曲线的离心率为_解析：易知抛物线 y28 x 的焦点为(2,0)，所以双曲线 1 的一个焦点为(2,0)，x2a2 y
27、22则 a222 2，即 a ，所以双曲线的离心率 e .2ca 22 2答案： 214(2018武汉调研)双曲线 ： 1( a0， b0)的焦距为 10，焦点到渐近y2a2 x2b2线的距离为 3，则 的实轴长等于_解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线 y x，即 ax by0 的距离为ab b3，所以 a4,2 a8.|5b|a2 b2 5bc答案：815(2018唐山模拟)过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A， B 两点，若| AF|2| BF|6，则 p_.解析：设 AB 的方程为 x my ， A(x1， y1)， B(x2， y2)，且 x1 x2，将直线
28、 AB 的方程p2代入抛物线方程得 y22 pmy p20，所以 y1y2 p2,4x1x2 p2.设抛物线的准线为 l，过A 作 AC l，垂足为 C，过 B 作 BD l，垂足为 D，因为| AF|2| BF|6，根据抛物线的定义知，| AF| AC| x1 6，| BF| BD| x2 3，所以 x1 x23， x1 x29 p，p2 p2所以( x1 x2)2( x1 x2)24 x1x2 p2，即 18p720，解得 p4.答案：416(2017高考全国卷改编)设 A， B 是椭圆 C： 1 长轴的两个端点若 Cx23 y2m上存在点 M 满足 AMB120，则 m 的取值范围是_解
29、析：当 0 m3 时，焦点在 x 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 AMB120，则 tan 60 ，即 ，ab 3 3m 316解得 0 m1.当 m3 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 AMB120，则 tan 60 ，即 ，解得 m9.ab 3 m3 3故 m 的取值范围为(0,19，)答案：(0,19，)三、解答题17(2018辽宁五校联考)已知椭圆 C： 1( a b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，上顶点为 B，若 BF1F2的周长为 6，且点 F1到直线 BF2的距离为 b.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 A1， A2是椭圆 C 长轴的
30、两个端点， P 是椭圆 C 上不同于 A1， A2的任意一点，直线A1P 交直线 x m 于点 M，若以 MP 为直径的圆过点 A2，求实数 m 的值解析：(1)由题意得 F1( c,0)， F2(c,0)， B(0， b)，则 2a2 c6，直线 BF2的方程为 bx cy bc0，所以 b，即 2c a，| bc bc|c2 b2又 a2 b2 c2，所以由可得 a2， b ，3所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)不妨设 A1(2,0)， A2(2,0)， P(x0， y0)，则直线 A1P 的方程为 y (x2)，y0x0 2所以 M(m， (m2)，y0x0 2又点 P 在
31、椭圆 C 上，所以 y 3(1 )，20x204若以 MP 为直径的圆过点 A2，则 A2M A2P， 0，A2M A2P 所以( m2， (m2)( x02， y0)( m2)( x02) (m2)( m2)y0x0 2 y20x0 2(x02) (m2)( x02)( m )0.31 x204x0 2 14 72又点 P 不同于点 A1， A2，所以 x02，17所以 m14.18(2018广州模拟)如图，在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1( a b0)的y2a2 x2b2上焦点为 F1，椭圆 C 的离心率为 ，且过点(1， )12 263(1)求椭圆 C 的方程；(2)设过椭圆 C
32、 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于点 B(B 不在 y 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 x 轴交于点 H，若 0，且| MO| MA|，求直线 l 的方程F1B F1H 解析：(1)因为椭圆 C 的离心率为 ，所以 ，即 a2 c.12 ca 12又 a2 b2 c2，所以 b23 c2，即 b2 a2，所以椭圆 C 的方程为 1.34 y2a2 x234a2把点(1， )代入椭圆 C 的方程中，解得 a24.263所以椭圆 C 的方程为 1.y24 x23(2)由(1)知， A(0,2)，设直线 l 的斜率为 k(k0)，则直线 l 的方程为 y kx2，由Err
33、or! 得(3 k24) x212 kx0.设 B(xB， yB)，得 xB ， 12k3k2 4所以 yB ， 6k2 83k2 4所以 B( ， ) 12k3k2 4 6k2 83k2 4设 M(xM， yM)，因为| MO| MA|，所以点 M 在线段 OA 的垂直平分线上，所以 yM1，因为 yM kxM2，所以 xM ，即 M( ，1)1k 1k设 H(xH,0)，又直线 HM 垂直于直线 l，所以 kMH ，即 .1k 1 1k xH 1k18所以 xH k ，即 H(k ，0)1k 1k又 F1(0,1)，所以 ( ， )， ( k ，1)F1B 12k3k2 4 4 9k23k2 4 F1H 1k因为 0，所以 (k ) 0，F1B F1H 12k3k2 4 1k 4 9k23k2 4解得 k .263所以直线 l 的方程为 y x2.263
