1、1中档大题规范练(四)(建议用时：60 分钟)(教师备选)已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，公差为 2，且 a1， S2， S4成等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn (nN *)，求数列 bn的前 n项和 Tn.2anan 1解 (1)由 a1， S2， S4成等比数列得 S a1S4.2化简得(2 a1 d)2 a1(4a16 d)，又 d2，解得 a11，故数列 an的通项公式 an12( n1)2 n1( nN *)(2)由(1)得 bn ，2 2n 1 2n 1 12n 1 12n 1 Tn 1 .(113) (13 15) (15 17) ( 12n 1 12
2、n 1) 12n 1 2n2n 11设函数 f(x)cos 2sin xcos x.(2x6)(1)求 f(x)的单调递减区间；(2)在 ABC中，若 AB4， f ，求 ABC的外接圆的面积(C2) 12解 (1) f(x)cos sin 2x cos 2x sin 2xsin (2x6) 32 122xsin ，(2x23)令 2k 2 x 2 k ，解得 k x k ， kZ ，2 23 32 12 512单调递减区间为 ， kZ.k 12， k 512(2)sin ， C ， C ，(C23) 12 23 56 6外接圆直径 2r 8， r4，外接圆面积 S16.ABsin C2如图
3、65，在直三棱柱 ABCA1B1C1中， BC3， AB4， AC CC15， M， N分别是A1B， B1C1的中点2图 65(1)求证： MN平面 ACC1A1；(2)求点 N到平面 MBC的距离解 (1)证明：连接 AC1， AB1(图略)，因为该三棱柱是直三棱柱， AA1 A1B1，则四边形 ABB1A1为矩形，由矩形性质得 AB1过 A1B的中点 M，在 AB1C1中，由中位线性质得 MN AC1，又 MN平面 ACC1A1， AC1平面 ACC1A1， MN平面 ACC1A1.(2) BC3， AB4， AC CC15， AB BC， S NBC BCBB1 35 ，12 12 1
4、52 S MBC BCBM 3 ，12 12 412 3414又点 M到平面 BCN的距离为 h AB2，设点 N与平面 MBC的距离为 h，12由 V 三棱锥 MNBC V 三棱锥 NMBC可得 S NBCh S MBCh，13 13即 2 h，13 152 13 3414解得 h ，即点 N到平面 MBC的距离为 .204141 204141(教师备选)随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来” ，遍布了一二线城市的大街小巷为了解共享单车在 A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了 200人进行抽样分析，得到下表(单位：人)：经常使用 偶尔
5、或不用 合计30岁及以下 70 30 10030岁以上 60 40 100合计 130 70 200(1)根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15的前提下认为 A市使用共享单车3情况与年龄有关？(2)现从所抽取的 30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取 5人 分别求这 5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数； 从这 5人中，再随机选出 2人赠送一件礼品，求选出的 2人中至少有 1人经常使用共享单车的概率参考公式： K2 ，其中 n a b c d.n ad bc 2 a b c d a c b d参考数据：P(K2 k0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0
6、2.072 2.706 3.841 5.024 6.635解 (1)由列联表可知，K2 2.198.200 7040 6030 2130701001002.1982.072，能在犯错误的概率不超过 0.15的前提下认为 A市使用共享单车情况与年龄有关(2) 依题意可知，所抽取的 5名 30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有 5 3(人)，60100偶尔或不用共享单车的有 5 2(人)40100设这 5人中，经常使用共享单车的 3人分别为 a， b， c；偶尔或不用共享单车的 2人分别为 d， e，则从 5人中选出 2人的所有可能结果为(a， b)，( a， c)，( a， d)，( a， e
7、)，( b， c)，( b， d)，( b， e)，( c， d)，( c， e)，(d， e)，共 10种其中没有 1人经常使用共享单车的可能结果为( d， e)，共 1种故选出的 2人中至少有 1人经常使用共享单车的概率 P1 . 110 9103某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜过去 50周的资料显示，该地周光照量 X(单位：小时)都在 30小时以上，其中不足 50小时的有 5周，不低于 50小时且不超过 70小时的有 35周，超过 70小时的有 10周根据统计，该基地的西红柿增加量 y(千克)与使用某种液体肥料的质量 x(千克)之间的对应数据为如图 66所示的折线图4图 66(
8、1)依据折线图计算相关系数 r(精确到 0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与 x的关系(若| r|0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量 X限制，并有如下关系：周光照量 X/小时 30 X50 50 X70 x70光照控制仪运行台数 3 2 1对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为 3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损 1 000元若商家安装了 3台光照控制仪，求商家在过去 50周的周总利润的平均值相关系数公
9、式：参考数据： 0.55， 0.95.0.3 0.9解 (1)由已知数据可得 5， 4.x2 4 5 6 85 y 3 4 4 4 55因为 (xi )(yi )(3)(1)000316，x y所以相关系数 0.95.910因为| r|0.75，所以可用线性回归模型拟合 y与 x的关系(2)由条件可得在过去 50周里，当 X70 时，共有 10周，此时只有 1台光照控制仪运行，每周的周总利润为 13 00021 0001 000(元)当 50 X70 时，共有 35周，此时有 2台光照控制仪运行，每周的周总利润为 23 00011 0005 000(元)当 30 X50 时，共有 5周，此时
10、3台光照控制仪都运行，每周的周总利润为 33 0009 000(元)所以过去 50周的周总利润的平均值为 4 1 00010 5 00035 9 0005505600(元)所以商家在过去 50周的周总利润的平均值为 4 600元4选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为Error!( t为参数，0 )以坐标原点 O为极点，以 x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C的极坐标方程为： cos2 4sin .(1)求直线 l的普通方程与曲线 C的直角坐标方程；(2)设直线 l与曲线 C交于不同的两点 A， B，若| AB|8，求 的值解 (1)直线 l普通方
11、程为 xsin ycos cos 0，曲线 C的极坐标方程为 cos2 4sin ， cos x， sin y，则 2cos2 4 sin ， x24 y即为曲线 C的普通方程(2)将Error! (t为参数，0 )代入曲线 C： x24 y， t2cos2 4 tsin 40， t1 t2 ， t1t2 ，4sin cos2 4cos2|AB| t1 t2| 8， t1 t2 2 4t1t2 (4sin cos2 )2 4 4cos2cos ， 或 .22 4 34选修 45：不等式选讲已知 a0， b0，函数 f(x)| x a|2 x b|的最小值为 1.(1)证明：2 a b2；(2)若 a2 b tab恒成立，求实数 t的最大值解 (1)证明： a ，b2 f(x)Error!，显然 f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，所以( ，b2 b2， )f(x)的最小值为 f a 1，即 2a b2.(b2) b2(2)因为 a2 b tab恒成立，所以 t恒成立，a 2bab (2a b) 5 ，a 2bab 1b 2a 12(1b 2a) 12 2ab 2ba 92当且仅当 a b 时， 取得最小值 ，23 a 2bab 92所以 t ，即实数 t的最大值为 .92 92
